Question

【題目】如圖，△ABC中，AB=BC，∠ABC=120°，AC=2，⊙O是△ABC的外接圓，D是優弧AmC上任意一點（不包括A，C），記四邊形ABCD的周長為y，BD的長為x，則y關于x的函數關系式是（　　）

A. y=x+4 B. y=x+4 C. y=x2+4 D. y=x2+4

Answer 1

【答案】B

【解析】分析：作輔助線，構建全等三角形和等邊三角形，證明Rt△AGB≌Rt△CFB得：AG=CF，根據30°角的笥質表示DF和DG的長，計算四邊形ABCD的周長即可．

詳解：連接OB交AC于E，連接OC、OB，

過B作BG⊥AD，BF⊥CD，交DA的延長線于G，交CD于F，

∵AB=BC，

∴，

∴∠BDA=∠BDC，

∴BG=BF，

在Rt△AGB和Rt△CFB中，

∵，

∴Rt△AGB≌Rt△CFB，

∴AG=FC，

∵，

∴OB⊥AC，EC=AC=×2=，

在△AOB和△COB中，

∵，

∴△AOB≌△COB（SSS），

∴∠ABO=∠OBC=∠ABC=×120°=60°，

∵OB=OC，

∴△OBC是等邊三角形，

∴∠BOC=60°，

∴∠BDC=∠ADB=30°，

Rt△BDF中，BD=x，

∴DF=x，

同理得：DG=x，

∴AD+DC=AD+DF+FC=DG+DF=x+x=x，

Rt△BEC中，∠BCA=30°，

∴BE=1，BC=2，

∴AB=BC=2，

∴y=AB+BC+AD+DC=2+2+x=x+4，

故選B．