Question

在直角坐標系xOy中，O是坐標原點，拋物線y=x²-x-6與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側），與y軸相交于點C．如果點M在y軸右側的拋物線上，S_△AMO=

2

3

S_△COB，那么點M的坐標是

 

．

Answer 1

分析：根據拋物線的定義可求出m=2，然后再令y=0，解方程求出A，B兩點，再令x=0，求出C點坐標，設出M點坐標，根據它在拋物線上和S_△ABO=

2

3

S_△COB，這兩個條件求出M點坐標．

解答：解：∵y=x²-x-6為拋物線，
∵拋物線y=x²-x-6與x軸交于A，B兩點，
令y=0，設方程x²-x-6=0的兩根為x₁，x₂，
∴x₁=-2，x₂=3，
∴A（-2，0），B（3，0），
設M點坐標為（a，a²-a-6），（a＞0）
∵S_△AMO=

2

3

S_△COB，
∴

1

2

×AO×|y_M|=

2

3

×

1

2

×OC×|x_B|，
∴

1

2

×2×|a²-a-6|=

2

3

×

1

2

×6×3，
解得，a₁=0，a₂=1，a₃=-3，a₄=4，
∵點M在y軸右側的拋物線上，
∴a＞0，
∴a=1，或a=4，
a²-a-6=1²-1-6=-6，或a²-a-6=4²-4-6=6
∴M點坐標為（1，-6）或（4，6）．
故答案為：（1，-6）或（4，6）．

點評：此題主要考查一元二次方程與函數的關系，函數與x軸的交點的橫坐標就是方程的根，若方程無根說明函數與x軸無交點，其圖象在x軸上方或下方，兩者互相轉化，要充分運用這一點來解題，另外此題把三角形的面積關系式與函數的圖象聯系起來，計算量比較大，關鍵是利用三角形的幾何關系來解題．