Question

已知點O是平面直角坐標系的原點，直線y=﹣x+m+n與雙曲線交于兩個不同的點A（m，n）（m≥2）和B（p，q）．直線y=﹣x+m+n與y軸交于點C，求△OBC的面積S的取值范圍．

Answer 1

＜S≤

解析試題分析：先確定直線y=﹣x+m+n與坐標軸的交點坐標，即C點坐標為（0，m+n），D點坐標為（m+n，0），則△OCD為等腰直角三角形，根據反比例函數的對稱性得到點A與點B關于直線y=x對稱，則B點坐標為（n，m），根據三角形面積公式得到S_△OBC=（m+n）•n，然后mn=1，m≥2確定S的范圍。　
解：如圖，C點坐標為（0，m+n），D點坐標為（m+n，0），

則△OCD為等腰直角三角形，
∵點A與點B關于直線y=x對稱，∴B點坐標為（n，m）。
∴S=S_△OBC=（m+n）•n=mn+n²。
∵點A（m，n）在雙曲線上，
∴。∴S=+（）²。
∵m≥2，∴0＜≤。∴0＜（）²≤。
∴＜S≤。