Question

【題目】如圖，在直角坐標系中，直線與x軸，y軸分別交于點A，B，點在第一象限內，連結，，．動點P在上從點A向終點B勻速運動，同時，動點Q在上從點C向終點O勻速運動，它們同時到達終點，連結交于點D．

（1）求點B的坐標和a的值；

（2）當點Q運動到中點時，連結，求的面積；

（3）作交直線于點R．

①當為等腰三角形時，求的長度；

②記交于點E，連結，則的最小值為__________．（直接寫出答案）

Answer 1

【答案】（1），；（2）6；（3）①或或；②

【解析】

（1）根據令求算B的坐標；再根據，得出OC的斜率和AB的斜率相等進行求算；

（2）延長PQ與x軸交于G點，根據題意知：P點運動速度是Q點的兩倍，得出點Q運動到中點時，P運動到AB中點，求出PQ的直線解析式從而得出G點的坐標，再根據求算即可；

（3）①，設AP=2t,CQ=t，易得：，表示出P、Q、R的坐標，再根據為等腰三角形分類討論即可；

②根據①中P、Q的點坐標表示出PQ的函數解析式，從而求算D點坐標，再表示出E點坐標，根據距離公式表示出DE的長度，配方成頂點式求算最小值．

（1）∵直線與x軸，y軸分別交于點A，B

∴

又∵，點

∴即

∴

綜上所述：B點坐標為，；

（2）延長PQ與x軸交于G點：

由（1）知：AB=10,OC=5, 根據題意知：P點運動速度是Q點的兩倍

∴點Q運動到中點時，P運動到AB中點

∴

設PQ的解析式為：，代入得：

解得：

∴PQ的解析式為：

∴

∴

（3）①作

根據題意知：P點運動速度是Q點的兩倍,設AP=2t,CQ=t

易得：

∴，代入得：

∴

當時：根據三線合一知：

解得：

∴CQ為；

當時：通過距離公式得：

，解得：（舍）

∴CQ為；

當時，通過距離公式得：

，解得：（舍）

∴CQ為

綜上所述：當為等腰三角形時，求的長或或；

②設PQ的解析式為： 代入P、Q：

解得：

∴

設BC的解析式為： ，代入B、C得：

解得

∴BC的解析式為：

∴

∴由距離公式得：

∴當時，DE有最小值為

綜上所述：DE最小值為