Question

【題目】如圖，在直角△ABC中，∠C＝90°，AC＝15，BC＝20，點D為AB邊上一動點，若AD的長度為m，且m的范圍為0＜m＜9，在AC與BC邊上分別取兩點E、F，滿足ED⊥AB，FE⊥ED．

（1）求DE的長度；（用含m的代數式表示）

（2）求EF的長度；（用含m的代數式表示）

（3）請根據m的不同取值，探索過D、E、F三點的圓與△ABC三邊交點的個數．

Answer 1

【答案】(1);(2) 25－; (3)見解析.

【解析】

(1)先證△ADE∽△ACB，得到=，代入即可得到DE=；

(2)由勾股定理得到AE=，利用兩個角相等的兩個三角形相似得到△ADE∽△ECF，利用相似三角形對應邊成比例，得到＝，代入即可得到EF＝25-；

(3)先分別求出過D、E、F三點的⊙O與AC和BC相切時m=和m=，再分0＜m＜，m=，＜m＜，m=，＜m＜9，五種情況進行說明.

解：(1)∵ED⊥AB，∴∠EDA＝90°，∴∠EDA＝∠C＝90°，

∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACB，

∴＝，∴＝，

∴DE＝；

(2)在RT△ADE中，

AE==，

∵ED⊥AB，FE⊥ED

∴∠EDA＝∠DEF＝90°，

∴EF∥AB，

∴∠A＝∠CEF，

又∵∠EDA＝∠C，

∴△ADE∽△ECF，

∴＝，∴m:(15-)＝:EF，

∴EF＝25-.

(3)當ED:EF=3:4，⊙O與AC相切于點E，

:(25-)=3:4，m＝，

當ED：EF=4:3，⊙O與BC相切于點F，

:(25－)=4:3，m＝，

情況一：當0＜m＜時，⊙O與△ABC有六個交點；

情況二：當m＝時，⊙O與△ABC有五個交點；

情況三：當＜m＜時，⊙O與△ABC有六個交點；

情況四：當m＝時，⊙O與△ABC有五個交點；

情況五：當＜m＜9時，⊙O與△ABC有六個交點.

故答案為：(1);(2) 25－; (3)見解析.