Question

【題目】如圖，拋物線L：y=﹣（x﹣2）2+m2+2m與x軸交于A，B，直線y=kx﹣1與y軸交于E，與L的對稱軸交于點F（n，3），與L交于D，拋物線L的對稱軸與L交于P．

(1)求k的值．

(2)點P能否與點F關于x軸的對稱點重合？若認為能，請求出m的值；若認為不能，說明理由．

(3)小林研究了拋物線L的解析式后，得到了如下的結論：因為m可以取任意實數，所以點C可以在y軸上任意移動，即C點可以到達y軸的任何位置，你認為他說的有道理嗎？說說你的想法．

(4)當拋物線L與直線y=kx﹣1有兩個公共點時，直接寫出適合條件的m的最大整數．

Answer 1

【答案】(1)k=2；(2)不能，理由見解析；(3)沒道理，見解析；(4)適合條件的m的最大整數值是1．

【解析】

（1）首先得出對稱軸方程，從而求得F點坐標，代入一次函數解析式，求k值；

（2）由對稱點坐標關系可得點F關于x軸的對稱點坐標，再與點P坐標比較，即可進行 判斷；

（3）把L的解析式化成頂點式，就可以知道函數的最小值是-5，所以點C都不能到達（0，﹣5）以下的位置；

（4）兩圖像有公共點，即函數值相等，得到一元二次方程，

解：（1）拋物線L的對稱軸是x=2，所以n=2，點F（2，3），代入y=kx﹣1中，得3=2k﹣1，

解得k=2；

（2）不能，理由：點P的坐標為（2，m2+2m），點F關于x軸的對稱點F'的坐標是（2，﹣3），

若點P與點F'重合，則m2+2m=﹣3，

即：（m+1）2=﹣2．顯然不可能；

（3）沒道理，

因為，點C的縱坐標為yC=m2+2m﹣4=（m+1）2﹣5

因為yC的最小值為﹣5，所以無論m取何值，點C都不能到達（0，﹣5）以下的位置．

（4）直線y=kx﹣1的解析式為y=2x﹣1

當﹣（x﹣2）2+m2+2m=2x﹣1時，得x2﹣2x﹣（m2+2m﹣3）=0，

△=22﹣4×1×（m2+2m﹣3）=﹣4[（m+1）2﹣5]

當△≥0時，（m+1）2﹣5≤0，所以適合條件的m的最大整數值是1．