Question

【題目】在扇形中，，半徑，點P為上任一點（不與A、O重合）.

（1）如圖①，Q是上一點，若，求證：.

（2）如圖②，將扇形沿折疊，得到O的對稱點.

①若點落在上，求的長；

②當與扇形所在的圓相切時，求折痕的長.（注：本題結果不取近似值）

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）①π；②.

【解析】

（1）證明即可；

（2）①通過折疊的性質可得推出是等邊三角形，從而得出角度計算弧長；

②過點O作于點C，通過解直角三角形分別求得BP，CP的長即可.

解：（1）證明：∵，，，

∴.

∴.

（2）解：①如解圖①，點落在上，連接，則是等邊三角形，

∴.

∴，

∴.

∴.

②與扇形所在的圓相切時，如解圖②所示，

∴.

∴.

過點O作于點C，

∵，，

∴.

又∵，，

∴，.

∴.

∴折痕的長為.