Question

【題目】在平面直角坐標系中，O為坐標原點，點A（a，a）在第一象限，點B（0，b），點C（3，0），

其中0＜b＜3，∠BAC＝90°．

（1）根據題意，畫出示意圖；

（2）若a＝2，求OB的長；

（3）已知點D在線段OB的上，若 ，四邊形OCAD的面積為3，求的值．

Answer 1

【答案】（1）見詳解（2）1（3）2

【解析】

（1）根據題意畫出圖形即可；
（2）由勾股定理表示出BC2=c2+9，AC2=（2-c）2+4，AB2=1+4=5，根據AB2+AC2=BC2，即5+（2-c）2+4=c2+9，解之可得c的值；
（3）過點A作AE⊥x軸于點E，作AF⊥y軸于點F，OF=OE=AF=AE=a，∠AEC=∠AFB=90°，由△ACE≌△ABF知BF=CE=3-a、OC=2a-3，根據OB2-OC2=8S△CAD得CD=3-a、OD=OC-CD=3a-6，最后由S四邊形OBAD=S△OAB+S△OAD可得關于a的方程，變形可得答案．

解：（1）

(2)

如圖，
過點A作AF⊥y軸于點F，AE⊥x軸于點E.

若a=2，則A（2，2），
連接BC，則在Rt△BOE中，BC2= OB2+OC2=b2+9，

在Rt△AEC中AC2= AE2+EC2=22+(3-2)2=5，

在Rt△AFB中AB2= AF2+BF2=22+(2-b)2，

∵∠BAC=90°，
∴在Rt△ABC中，AB2+AC2=BC2，

即22+(2-b)2+5= b2+9，
解得：b=1，
即OB= b=1；
（3）

過點A作AE⊥x軸于點E，作AF⊥y軸于點F，連接AD.
由平面直角坐標系知：OF=OE=AF=AE=a，∠AEC=∠AFB=90°，
∵∠BAC=∠CAE+∠BAE=90°，∠FAE=∠FAB+∠BAE=90°，
∴∠CAE=∠FAB，
在△ACE和△ABF中，

∴△ACE≌△ABF（AAS），
∴BF=CE=3-a，

∴OB=OF-BF=a-(3-a)=2a-3
∵OC=3，，
∴9-（2a-3）2=8

即=

∵S四邊形OCAB =S四邊形OCAD+

S四邊形OCAB= S四邊形OEAB+S △ACE

△ACE≌△ABF，
∴S四邊形OCAD+= S四邊形OEAB+S △ACE= S四邊形OEAB+S △ABF= S四邊形OEAF=a2

∵四邊形OCAD的面積為3

∴3+= a2

化簡得：