Question

【題目】如圖，⊙C的內接△AOB中，AB=AO=4，tan∠AOB=，拋物線y=ax2+bx經過點A（4，0）與點（﹣2，6）．

（1）求拋物線的函數解析式；

（2）直線m與⊙C相切于點A，交y軸于點D．動點P在線段OB上，從點O出發向點B運動；同時動點Q在線段DA上，從點D出發向點A運動；點P的速度為每秒一個單位長，點Q的速度為每秒2個單位長，當PQ⊥AD時，求運動時間t的值；

（3）點R在拋物線位于x軸下方部分的圖象上，當△ROB面積最大時，求點R的坐標．

Answer 1

【答案】(1) y=x2﹣2x．(2) t=1.8秒；(3) R（，）．

【解析】

試題分析：（1）根據拋物線y=ax2+bx經過點A（4，0）與點（﹣2，6），利用待定系數法求拋物線解析式；

（2）如圖1，由已知條件，可以計算出OD、AE等線段的長度．當PQ⊥AD時，過點O作OF⊥AD于點F，此時四邊形OFQP、OFAE均為矩形．則在Rt△ODF中，利用勾股定理求出DF的長度，從而得到時間t的數值；

（3）因為OB為定值，欲使△ROB面積最大，只需OB邊上的高最大即可．按照這個思路解決本題．

如圖2，當直線l平行于OB，且與拋物線相切時，OB邊上的高最大，從而△ROB的面積最大．聯立直線l和拋物線的解析式，利用一元二次方程判別式等于0的結論可以求出R點的坐標．

試題解析：（1）∵拋物線y=ax2+bx經過點A（4，0）與點（﹣2，6），

∴，

解得

∴拋物線的解析式為：y=x2﹣2x．

（2）如圖1，連接AC交OB于點E，由垂徑定理得AC⊥OB．

∵AD為切線，

∴AC⊥AD，

∴AD∥OB．

過O點作OF⊥AD于F，

∴四邊形OFAE是矩形，

∵tan∠AOB=，

∴sin∠AOB=，

∴AE=OAsin∠AOB=4×=2.4，

OD=OAtan∠OAD=OAtan∠AOB=4×=3．

當PQ⊥AD時，OP=t，DQ=2t．

在Rt△ODF中，

∵OD=3，OF=AE=2.4，DF=DQ﹣FQ=DQ﹣OP=2t﹣t=t，

由勾股定理得：DF=，

∴t=1.8秒；

（3）如圖2，設直線l平行于OB，且與拋物線有唯一交點R（相切），

此時△ROB中OB邊上的高最大，所以此時△ROB面積最大．

∵tan∠AOB=，∴直線OB的解析式為y=x，

由直線l平行于OB，可設直線l解析式為y=x+b．

∵點R既在直線l上，又在拋物線上，

∴x2﹣2x=x+b，化簡得：2x2﹣11x﹣4b=0．

∵直線l與拋物線有唯一交點R（相切），

∴判別式△=0，即112+32b=0，解得b=﹣，

此時原方程的解為x=，即xR=，

而yR=xR2﹣2xR=

∴點R的坐標為R（，）．