Question

【題目】如圖，已知拋物線經過坐標原點O和x軸上另一點E，頂點M的坐標為（2，4）；矩形ABCD的頂點A與點O重合，AD、AB分別在x軸、y軸上，且AD=2，AB=3．

（1）求該拋物線所對應的函數關系式；

（2）將矩形ABCD以每秒1個單位長度的速度從如圖所示的位置沿x軸的正方向勻速平行移動，同時一動點P也以相同的速度從點A出發向B勻速移動，設它們運動的時間為t秒（0≤t≤3），直線AB與該拋物線的交點為N（如圖2所示）．

①當t=時，判斷點P是否在直線ME上，并說明理由；

②設以P、N、C、D為頂點的多邊形面積為S，試問S是否存在最大值？若存在，求出這個最大值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①不在；②最大值為．

【解析】

試題分析：（1）已知頂點坐標，又拋物線經過原點，用待定系數可求出拋物線解析式；

（2）①根據拋物線的對稱性求出E點坐標，再求出直線ME的解析式，把t知代入驗證點P是否在直線ME上；

②最后一問設出P，N坐標，根據幾何關系求出PN，然后分兩種情況討論：（1）PN=0；（2）PN≠0；把求多邊形面積S轉化為求函數最值問題．

試題解析：（1）因所求拋物線的頂點M的坐標為（2，4），故可設其關系式為，又∵拋物線經過O（0，0），∴得，解得a=﹣1，∴所求函數關系式為，即．

（2）①點P不在直線ME上．根據拋物線的對稱性可知E點的坐標為（4，0），又M的坐標為（2，4），設直線ME的關系式為y=kx+b．于是得：，解得：，所以直線ME的關系式為y=﹣2x+8．

由已知條件易得，當t=時，OA=AP=，∴P（，）．

∵P點的坐標不滿足直線ME的關系式y=﹣2x+8，∴當t=時，點P不在直線ME上．

②S存在最大值．理由如下：

∵點A在x軸的非負半軸上，且N在拋物線上，∴OA=AP=t，∴點P，N的坐標分別為（t，t）、（t，），∴AN=（0≤t≤3），∴AN﹣AP=（）﹣t==t（3﹣t）≥0，∴PN=．（ⅰ）當PN=0，即t=0或t=3時，以點P，N，C，D為頂點的多邊形是三角形，此三角形的高為AD，∴S=DCAD=×3×2=3．

（ⅱ）當PN≠0時，以點P，N，C，D為頂點的多邊形是四邊形．

∵PN∥CD，AD⊥CD，∴S=（CD+PN）AD= ==，其中（0＜t＜3），由a=﹣1，0＜＜3，此時S最大=．

綜上所述，當t=時，以點P，N，C，D為頂點的多邊形面積有最大值，這個最大值為．

說明：（ⅱ）中的關系式，當t=0和t=3時也適合．