Question

【題目】已知：如圖，在梯形ABCD中，CD∥AB，∠DAB＝90°，對角線AC、BD相交于點E，AC⊥BC，垂足為點C，且BC2＝CECA．

（1）求證：AD＝DE；

（2）過點D作AC的垂線，交AC于點F，求證：CE2＝AEAF．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【解析】

（1）根據相似三角形的判定定理得到△BCE∽△ACB，根據相似三角形的性質得到∠CBE＝∠CAB，根據等角的余角相等得到∠BEC＝∠DAE，根據等腰三角形的判定定理證明；

（2）根據平行線分線段成比例定理得到，，得到，整理得到CE2＝AEEF，根據等腰三角形的三線合一得到AF＝EF，證明結論．

證明：（1）∵BC2＝CECA，

∴，又∠ECB＝∠BCA，

∴△BCE∽△ACB，

∴∠CBE＝∠CAB，

∵AC⊥BC，∠DAB＝90°，

∴∠BEC+∠CBE＝90°，∠DAE+∠CAB＝90°，

∴∠BEC＝∠DAE，

∵∠BEC＝∠DEA，

∴∠DAE＝∠DEA，

∴AD＝DE；

（2）過點D作AC的垂線，交AC于點F，如圖，

∵DF⊥AC，AC⊥BC，

∴∠DFE＝∠BCA＝90°，

∴DF∥BC，

∴，

∵DC∥AB，

∴，

∴，

∴CE2＝AEEF，

∵AD＝DE，DF⊥AC，

∴AF＝EF，

∴CE2＝AEAF．