Question

【題目】如圖，在△ABC中，CA＝CB，AB＝10，0°＜∠C＜60°，AF⊥BC于點F，在FC上截取FD＝FB，點E是AC上一點，連接DA、DE，且∠ADE＝∠B.

（1）求證：ED＝EC；

（2）若∠C＝30°，求BD長；

（3）在（2）的條件下，將圖中△DEC繞點D逆時針旋轉得到△DE′C′，請問在旋轉的過程中，以點C、E、C′、E′為頂點的四邊形可以構成平行四邊形嗎？若可以，請求出該平行四邊形的面積，若不可以，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）BD=10；（3）可以，見解析，.

【解析】

（1）先判斷出∠C=180°-2∠ABC，∠CDE=180°-2∠ABC，進而求出∠C=∠CDE，即可得出結論；（2）先求出角BAD=30°，進而求出BG，AG，即可得出DG，最后用勾股定理即可得出結論；（3）先判斷出旋轉到C落在CB的延長線上，以點C,E,C’,E’為頂點的四邊形是平行四邊形，再求出DH，DE即可得出結論.

解：（1）∵AC=BC,

∴∠ABC=∠BAC，

∴∠C=180°-∠ABC-∠BAC=180°-2∠ABC，

∵AF⊥BC，BF=DF,

∴AB=AD，

∴∠ADB=∠ABC，

∴∠CDE=180°-∠ADE-∠ADB=180°-2∠ABC

∴∠CDE=∠C，

∴ED=CE；

（2）∵∠C=30°，

∴∠ABC=∠ADB=∠BAC=∠ADE=75°，

∴∠BAD=30°，

過點B作BG⊥AD于G，如圖1，

在Rt△ABG中，AB=10，∠BAD=30°，

∴BG=5，AG=5

∴DG=AD-AG=10-5=5(2-)

在Rt△BDG中，BD=

（3）存在，理由：

如圖2，當點C’落在CB延長線上，點E’落在ED的延長線上，

由旋轉知DE=DE’,DC=DC’

∴四邊形CEC’E’是平行四邊形，

過點D作DH⊥AC于H，

在Rt△ADH中，AD=10，∠DAH=∠BAC-∠BAD=45°，

∴DH=5

在Rt△DEH中，∠AED=∠ACB+∠CDE=60°，

∴∠EDH=30°，

∴DE=

∴CE=

∴S平行四邊形CEC’E’=4S△CDE=