Question

【題目】在中，，，，設，．

（1）如圖1，當點在內，

①若，求的度數；

小明同學通過分析已知條件發現：是頂角為的等腰三角形，且，從而容易聯想到構造一個頂角為的等腰三角形．于是，他過點作，且，連接，發現兩個不同的三角形全等：_____________再利用全等三角形及等腰三角形的相關知識可求出的度數

請利用小王同學分析的思路，通過計算求得的度數為_____；

②小王在①的基礎上進一步進行探索，發現之間存在一種特殊的等量關系，請寫出這個等量關系，并加以證明．

（2）如圖2，點在外，那么之間的數量關系是否改變？若改變，請直接寫出它們的數量關系；若不變，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）①△BAD，△CAP， 63°；②β﹣α＝90°；（2）改變，α+β＝90°．

【解析】

（1）①先證明△BAD≌△CAP，根據全等三角形的性質得到CP＝BD，根據等腰三角形的性質解答；②仿照①的作法解答即可；

（2）過點A作，且AD＝AP，連接DP，DB，證明△BAD≌△CAP，根據全等三角形的性質得到PC＝BD，結合圖形計算即可．

解：（1）①∵，，

∴∠BAC＝∠DAP，

∴∠BAD＝∠CAP，

在△BAD和△CAP中，

，

∴△BAD≌△CAP（SAS），

∴BD＝CP，∠BDA＝∠APC，

∵，

∴BD＝，

如圖，過點A作AH⊥DP，垂足為點H，

∵，且，

∴∠APD＝∠ADP＝30°，

在Rt△APH中，cos∠APH=,

∴cos30°=,

∴

∵，AH⊥DP，

∴DP＝2PH＝，

∴BD＝DP，

∴∠BPD＝∠PBD，

∵，，，

∴

∵，∠APD＝30°，

∴∠BPD＝∠PBD＝

∴∠BDP＝，

∴∠BDA＝∠BDP+∠ADP＝，

∵∠BDA＝∠APC，

∴，

∴，

故答案為：△BAD，△CAP， 63°；

②β﹣α＝90°，

理由如下：由①得

∵，，

∴，

∵，∠APD＝30°，

∴∠BPD＝∠PBD＝，

∴∠BDP＝，

∴∠BDA＝∠BDP+∠ADP＝，

∵∠BDA＝∠APC，

∴，

∴β﹣α＝90°，

（2）改變，α+β＝90°，理由如下：

過點A作∠DAP＝120°，且AD＝AP，連接DP，DB，過點A作AH⊥DP，垂足為點H，

∵，，

∴∠BAC＝∠DAP，

∴∠BAD＝∠CAP，

在△BAD和△CAP中，

，

∴△BAD≌△CAP（SAS），

∴BD＝CP，∠BDA＝∠APC，

∵，

∴BD＝，

∵，且，

∴∠APD＝∠ADP＝30°，

在Rt△APH中，cos∠APH=,

∴cos30°=,

∴

∵，AH⊥DP，

∴DP＝2PH＝，

∴BD＝DP，

∴∠BPD＝∠PBD，

∵，∠APD＝30°，

∴∠BPD＝∠PBD＝∠APB+∠APD＝+30°，

∵，，

∴∠ADB＝，

又∵∠ADP＝30°，

∴∠BDP＝∠ADB+∠ADP＝+30°,

∵∠BPD+∠PBD+∠BDP＝180°,

∴+30°++30°++30°＝180°,

∴α+β＝90°，

∴α、β之間的數量關系改變為α+β＝90°．