Question

如圖，在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，∠B＝120°，AD＝，AB＝6．在底邊AB上取點E，在射線DC上取點F，使得∠DEF＝120°．
(1)當點E是AB的中點時，線段DF的長度是　   　；
(2)若射線EF經過點C，則AE的長是　   　．

Answer 1

6；2或5。

(1)如圖1，過E點作EG⊥DF，∴EG＝AD＝。

∵E是AB的中點，AB＝6，∴DG＝AE＝3。
∴∠DEG＝60°（由三角函數定義可得）。
∵∠DEF＝120°，∴∠FEG＝60°。
∴tan60°＝，解得，GF＝3。
∵EG⊥DF，∠DEG＝∠FEG，∴EG是DF的中垂線。∴DF＝2 GF＝6。
(2)如圖2，過點B作BH⊥DC，延長AB至點M，過點C作CF⊥AB于F，則BH＝AD＝。

∵∠ABC＝120°，AB∥CD，∴∠BCH＝60°。
∴CH＝，BC＝。
設AE＝x，則BE＝6－x，
在Rt△ADE中，DE＝，
在Rt△EFM中，EF＝，
∵AB∥CD，∴∠EFD＝∠BEC。
∵∠DEF＝∠B＝120°，∴△EDF∽△BCE。
∴，即，解得x＝2或5。