Question

數學實驗室：小明取出一張矩形紙片ABCD，AD=BC=5，AB=CD=25．他先在矩形ABCD的邊AB上取一點M，接著在CD上取一點N，然后將紙片沿MN折疊，使MB′與DN交于點K，得到△MNK（如圖①）．
（1）試判斷△MNK的形狀，并說明理由．

（2）如何折疊能夠使△MNK的面積最大？請你利用備用圖探究可能出現的情況，求出最大值．

Answer 1

△MNK是等腰三角形

∵ABCD是矩形，
∴AM∥DN，
∴∠KNM=∠1．
∵∠KMN=∠1，
∴∠KNM=∠KMN．
∴△MNK是等腰三角形．
（2）分兩種情況：
情況一：將矩形紙片對折，使點B與點D重合，此時點K也與點D重合．

設MK=MD=x，則AM=25-x，在Rt△DNM中，由勾股定理，得
, 
解得，．
即MD=ND=13． 
∴S_△MNK=32.5．  
情況二：將矩形紙片沿對角線AC對折，此時折痕為AC．

設MK="AK=" CK=x，則DK=25-x，同理可得
即MK=NK=13．
∴S_△MNK=32.5．

分情況一：將矩形紙片對折，使點B與D重合，此時點K也與D重合；情況二：將矩形紙片沿對角線AC對折，此時折痕即為AC兩種情況討論求解．