Question

【題目】如圖①，有兩個形狀完全相同的直角三角形ABC和EFG疊放在一起（點A與點E重合），已知AC=8cm，BC=6cm，∠C=90°，EG=4cm，∠EGF=90°，O是△EFG斜邊上的中點．
如圖②，若整個△EFG從圖①的位置出發，以1cm/s的速度沿射線AB方向平移，在△EFG平移的同時，點P從△EFG的頂點G出發，以1cm/s的速度在直角邊GF上向點F運動，當點P到達點F時，點P停止運動，△EFG也隨之停止平移．設運動時間為x（s），FG的延長線交AC于H，四邊形OAHP的面積為y（cm2）（不考慮點P與G、F重合的情況）．

（1）當x為何值時，OP∥AC；
（2）求y與x之間的函數關系式，并確定自變量x的取值范圍；
（3）是否存在某一時刻，使四邊形OAHP面積與△ABC面積的比為13：24？若存在，求出x的值；若不存在，說明理由．（參考數據：1142=12996，1152=13225，1162=13456或4.42=19.36，4.52=20.25，4.62=21.16）

Answer 1

【答案】（1）1.5s；（2）S=x2+x+3（0＜x＜3）；（3）當x=（s）時，四邊形OAHP面積與△ABC面積的比為13：24．

【解析】

（1）由于O是EF中點，因此當P為FG中點時，OP∥EG∥AC，據此可求出x的值．

（2）由于四邊形AHPO形狀不規則，可根據三角形AFH和三角形OPF的面積差來得出四邊形AHPO的面積．三角形AHF中，AH的長可用AF的長和∠FAH的余弦值求出，同理可求出FH的表達式（也可用相似三角形來得出AH、FH的長）．三角形OFP中，可過O作OD⊥FP于D，PF的長易知，而OD的長，可根據OF的長和∠FOD的余弦值得出．由此可求得y、x的函數關系式．

（3）先求出三角形ABC和四邊形OAHP的面積，然后將其代入（2）的函數式中即可得出x的值．

解：（1）∵Rt△EFG∽Rt△ABC

∴，即,

∴FG==3cm

∵當P為FG的中點時，OP∥EG，EG∥AC

∴OP∥AC

∴x==×3=1.5（s）

∴當x為1.5s時，OP∥AC．

（2）在Rt△EFG中，由勾股定理得EF=5cm

∵EG∥AH

∴△EFG∽△AFH

∴,

∴AH=（x+5），FH=（x+5）

過點O作OD⊥FP，垂足為D

∵點O為EF中點

∴OD=EG=2cm

∵FP=3﹣x

∴S四邊形OAHP=S△AFH﹣S△OFP

=AHFH﹣ODFP

=（x+5）（x+5）﹣×2×（3﹣x）

=x2+x+3（0＜x＜3）．

（3）假設存在某一時刻x，使得四邊形OAHP面積與△ABC面積的比為13：24

則S四邊形OAHP=×S△ABC

∴x2+x+3=××6×8

∴6x2+85x﹣250=0

解得x1=，x2=﹣（舍去）

∵0＜x＜3

∴當x=（s）時，四邊形OAHP面積與△ABC面積的比為13：24．