Question

【題目】如圖，中，平分交于點 ，為的中點．

（1）如圖①，若為的中點，，，，，求；

（2）如圖②，為線段上一點，連接，滿足，．求證：．

Answer 1

【答案】（1） （2）見解析

【解析】

（1）根據平行四邊形的性質得出AB∥CD，AD∥BC，由DF平分∠ADC可得△DCF為等腰三角形，即DC=FC=8，再根據AB⊥CD得出△ACD為直角三角形，由G是HD的中點得出DH=2GC=，利用勾股定理得出HC=4，即AH=5，最后根據為的中點，即可得出MG的值.

（2）過點D作DN∥AC交CG延長線于N，可得， ，由G是DH的中點得，故，即，再由四邊形ABCD是平行四邊形可得∠DAC=∠ACB=∠AND，根據三角形內角和定理可得∠BMF=∠AND，∠BMF+∠B=∠AND+∠ADC，再由∠MFC=∠NDC，且CF=CD，∠FCM=∠DCM證明得出△MFC△NDC(ASA)，即可得出CM=CN=2CG.

（1）四邊形ABCD是平行四邊形

AB∥CD，AD∥BC

又AD∥BC

∠ADF=∠DFC

DF平分∠ADC

∠ADF=∠FDC

∠DFC=∠FDC

△DCF為等腰三角形

CD=FC=8

AB⊥CD且AB∥CD

AC⊥CD

△ACD為直角三角形

又G是HD的中點且GC=

DH=2GC=(斜邊中線=斜邊的一半)

RT△HCD中

DC=8，HD=

AC=9

AH=5

M是AD的中點

.

（2）

證明：過點D作DN∥AC交CG延長線于N

，

G是DH的中點

，且∠N=∠ACG，∠CGH=∠DGN

又四邊形ABCD是平行四邊形

∠B=∠ADC，AD∥BC

∠DAC=∠ACB=∠AND

∠MFB=∠BAC,且∠BMF=180°-∠B-∠BFM，∠ACB=180°-∠B-∠BAC

∠BMF=∠ACB

∠BMF=∠ADN

∠BMF+∠B=∠AND+∠ADC

∠MFC=∠NDC，且CF=CD，∠FCM=∠DCM

△MFC△NDC(ASA)

CM=CN=2CG