Question

【題目】如圖，以AB為直徑的⊙O與CE相切于點C，CE交AB的延長線于點E，直徑AB＝18，∠A＝30°，弦CD⊥AB，垂足為點F，連接AC，OC，則下列結論正確的是______．（寫出所有正確結論的序號）

①；

②扇形OBC的面積為π；

③△OCF∽△OEC；

④若點P為線段OA上一動點，則APOP有最大值20.25．

Answer 1

【答案】①③④．

【解析】

利用垂徑定理對①進行判斷；利用圓周角定理得到∠BOC=2∠A=60°，則利用扇形的面積公式可計算出扇形OBC的面積，于是可對②進行判斷；利用切線的性質得到OC⊥CE，然后根據相似三角形的判定方法對③進行判斷；由于APOP=-(OP-)2+，則可利用二次函數的性質對④進行判斷．

∵弦CD⊥AB，AB是直徑，

∴，所以①正確；

∴∠BOC=2∠A=2×30°=60°，

∴扇形OBC的面積=，所以②錯誤；

∵⊙O與CE相切于點C，

∴OC⊥CE，

∴∠OCE=90°，

∵∠COF=∠EOC，∠OFC=∠OCE，

∴△OCF∽△OEC，所以③正確；

∵APOP=(9-OP)OP= -(OP-)2+，

當OP=時，APOP的最大值為=20.25，所以④正確，

故答案為：①③④．