Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝x2+bx經過點A（2，0）．直線y＝x﹣2與x軸交于點B，與y軸交于點C．

（1）求這條拋物線的表達式和頂點的坐標；

（2）將拋物線y＝x2+bx向右平移，使平移后的拋物線經過點B，求平移后拋物線的表達式；

（3）將拋物線y＝x2+bx向下平移，使平移后的拋物線交y軸于點D，交線段BC于點P、Q，（點P在點Q右側），平移后拋物線的頂點為M，如果DP∥x軸，求∠MCP的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣2x，頂點C的坐標是（1，﹣1）；（2）y＝（x﹣3）2﹣1或y＝（x﹣5）2﹣1；（3）

【解析】

（1）根據待定系數法即可求得拋物線的解析式，化成頂點式即可求得頂點坐標；

（2）根據圖象上點的坐標特征求得B（4，0），然后分兩種情況討論求得即可；

（3）設向下平移后的拋物線表達式是：y＝x2﹣2x+n，得點D（0，n），即可求得P（2，n），代入y＝x﹣2求得n＝﹣1，即可求得平移后的解析式為y＝x2﹣2x﹣1．求得頂點坐標，然后解直角三角形即可求得結論．

（1）由題意，拋物線y＝x2+bx經過點A（2，0），

得0＝4+2b，解得 b＝﹣2，

∴拋物線的表達式是y＝x2﹣2x．

∵y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，

∴它的頂點C的坐標是（1，﹣1）．

（2）∵直線與x軸交于點B，

∴點B的坐標是（4，0）．

①將拋物線y＝x2﹣2x向右平移2個單位，使得點A與點B重合，

此時平移后的拋物線表達式是y＝（x﹣3）2﹣1．

②將拋物線y＝x2﹣2x向右平移4個單位，使得點O與點B重合，

此時平移后的拋物線表達式是y＝（x﹣5）2﹣1．

（3）設向下平移后的拋物線表達式是：y＝x2﹣2x+n，得點D（0，n）．

∵DP∥x軸，

∴點D、P關于拋物線的對稱軸直線x＝1對稱，

∴P（2，n）．

∵點P在直線BC上，

∴．

∴平移后的拋物線表達式是：y＝x2﹣2x﹣1．

∴新拋物線的頂點M的坐標是（1，﹣2）．

∴MC∥OB，

∴∠MCP＝∠OBC．

在Rt△OBC中，，

由題意得：OC＝2，，

∴．

即∠MCP的正弦值是．