Question

【題目】如圖，矩形紙片，是的中點，是上一動點，沿折疊，點落在點處；延長交于點，連接.

（1）求證：≌；

（2）當時，將沿折疊，點落在線段上點處.

①求證：∽；

②如果，，求的長.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①見解析；②6

【解析】

（1）依據“HL”進行證明即可；

（2）①由矩形的性質得AD∥BC，可得∠AME=∠CQF，然后由全等三角形的性質和折疊的性質得出，∠DQC=∠DQF，即可得到∠AMP=∠DQC，再由，即可證得∽；

②設，證得∽，依據相似三角形的對應邊成比例可得，由∽得，可得，AM=x2+1，由折疊性質得DF=2x，然后在Rt△FDM中利用三角函數列出方程即可求出x的值，即可得到本題的答案．

解：（1）∵四邊形是矩形

∴

根據折疊的性質可知：，

∵點為中點

∴

又∵

∴≌

（2）①∵四邊形是矩形，

∴AD∥BC，

∴∠AME=∠CQF，

由（1）知≌，

∴，

∵將沿折疊，點落在線段上點處，

∴∠DQC=∠DQF，

∴∠AMP=∠DQC，

又∵，

∴∽；

②設，則，

由（1）知≌

∴

根據折疊的性質可知：，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴∽，

∴，即

由∽得，，即，

，

又∵在中，，，

∵，

∴，整理得，，

解方程得：，（不合題意，舍去）．

∴．