Question

【題目】如圖，直線AB交x軸正半軸于點A（a，0），交y軸正半軸于點B（0，b），且a、b滿足

（1）求A、B兩點的坐標；

（2）C為OA的中點，作點C關于y軸的對稱點D，以BD為直角邊在第二象限作等腰Rt△BDE，過點E作EF⊥x軸于點F．若直線y=kx－4k將四邊形OBEF分為面積相等的兩部分，求k的值；

（3）如圖，P為x軸上A點右側任意一點，以BP為邊作等腰Rt△PBM，其中PB=PM，直線MA交y軸于點Q，當點P在x軸上運動時，線段OQ的長是否發生變化？若不變，求其值；若變化，求線段OQ的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）A（4，0），B（0，4）；（2）k值為或-或；（3）見解析

【解析】（1）首先根據已知條件和非負數的性質得到關于a、b的方程，解方程組即可求出a，b的值，也就能寫出A，B的坐標；

（2）先判段出△DEF≌△BDO，得出EF、OF，即可求出四邊形OBEF的面積為18，再分析兩種情況可討論計算即可.

（3）過M作x軸的垂線，通過證明△PBO≌△MPN得出MN=AN，轉化到等腰直角三角形中即可得出結論．

解：（1）∵，

∴a=4，b=4，

∴A（4，0），B（0，4）；

（2）由（1）知，B（0，4）；

∴OB=4，

∵C為OA的中點，

∴C（2，0）,

∵點C關于y軸的對稱點D，

∴D（-2，0）

∴OD=2，

∵BD為直角邊在第二象限作等腰Rt△BDE，

①如圖，

當BD=BE，∠DBE=90°時，過點E作EH⊥OB于H，

∴∠BHE=90°，

∴∠BEH+∠HBE=90°，

∵∠DBE=90°，

∴∠HBE+∠OBD=90°，

∴∠BEH=∠OBD，

在△OBD和△HEB中，∠BOD=∠EHB=90°，∠0BD=∠BEH，BD=BE，

∴△OBD≌△HEB，

∴BH=OD，EH=OB，

∵D（-2，0），B（0，4），

∴OB=4，OD=2，

∴BH=2，EH=4，

∴OH=OB+BH=6，∴E（-4，6），

∴EF=OH=6，OEH=4，

∴S四邊形OBEF=（OB+EF）×OF=20，

∵直線y=kx-4k將四邊形OBEF分為面積相等的兩部分，

∴S四邊形OBGF=S四邊形OBEF=10，

∴S四邊形OBFE= (FG+OB×OF=×（FG+4）×4=2（FG+4）=10，

∴FG=1，∴G（-4，1）

將G（-4，1）代入直線y=kx-4k，得，1=-4k-4k，

∴k=.

②如圖1，

當DE=BD，∠BDE=90°時，

∴∠EDF+∠BDO=90°，

∴∠DEF=∠BDO，

在△DEF和△BDO中，∠DEF= ∠BOD=90°，∠DEF=∠BDO，DBD，

∴△DEF≌△BDO，

∴EF=OD=2，DF=OB=4，

∴OF=6，

∴F（-6，2）

∴S四邊形OBEF=（EF+OB）×OF=×（2-4）×6=18，

∵直線y=kx-4k將四邊形OBEF分為面積相等的兩部分，

所以直線y=kx-4k分成的兩部分的面積為9，

∵直線y=kx-4k恒過A（4，0），

∴I、當直線y=kx-4k和線段EF相交，

∴S四邊形OHGF=9，

∵H（0，-4k），

∴OH=-4k，

∵G點的橫坐標為-6，

∴G（-6，-10k），

∴FG=-10k，

∴S四邊形OHGF=（-4k=10k）×6=9.

∴k=-，

II、當直線y=kx-4k①和線段EB相交，

∴S△MBN=9，

∵N（0，-4k）

∴BN=4（k+1）,

∵B（0，4），E（-6，2），

∴直線BE的解析式為y=x+4②

聯立①②得，點M的橫坐標為，

∴S△MBN=×4（k+1）×=9，

∴k=（舍）或k=.

即：滿足條件的k值為或-或.

（3）過M作MN⊥x軸，垂足為N．

∵∠BPM=90°，∴∠BPO+MPN=90°．

∵∠AOB=∠MNP=90°，∴∠BPO=∠PMN，∠PBO=∠MPN．

∵BP=MP，∴△PBO≌△MPN，

∴ MN=OP，PN=AO=BO，

∴OP=OA+AP=PN+AP=AN，

∴MN=AN，∠MAN=45°．

∵∠BAO=45°，

∴△BAQ是等腰直角三角形．

∴OB=OQ=4．

∴無論P點怎么動，OQ的長不變．

“點睛”此題是一次函數綜合題，主要考查了非負性，全等三角形的判定和性質，梯形的面積公式，三角形面積公式，等腰直角三角形的判定和性質，解題關鍵是求出k的值．