Question

【題目】在等邊△ABC中，D是△ABC內一點，且DA＝DB，E為△ABC外一點，連接BE交AC于F，BE＝BC，BD平分∠EBC，連接DE，CE，AD∥CE．

（1）求證：∠DAC＝∠DBE；

（2）若AB＝6，求△BEC的面積．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）△BEC的面積＝9．

【解析】

(1)連接CD，先證△BDC≌△ADC，可得∠DAC＝∠DBC，又因為BD平分∠EBC，可得∠DBC＝∠DBE，即可證得∠DAC＝∠DBE；

（2）先證△BDE≌△BDC；又因為△ADC≌△BDC，可得∠BED＝30°，再證∠BHC＝90°，從而證得∠ACE＝∠DBC＝15°，可證∠CFB＝90°，在求面積即可.

（1）連接CD，延長BD交EC于點H，

∵△ABC是等邊三角形，

∴AC＝BC，∠ACB＝60°，

∵AC＝BC，CD＝CD，AD＝BD，

∴△ADC≌△BDC（SSS）

∴∠DAC＝∠DBC，

∵BD平分∠EBC，

∴∠DBC＝∠DBE，

∴DAC＝∠DBE；

（2）∵BE＝BC，∠DBC＝∠DBE，BD＝BD，

∴△BDE≌△BDC（SAS）

∴∠BED＝∠BCD，

∵△ADC≌△BDC

∴∠BCD＝∠ACD＝30°，

∴∠BED＝30°，

∵AD∥CE，

∴∠DAC＝∠ACE＝∠DBC＝∠DBE，

∵BE＝BC，∠DBC＝∠DBE，

∴∠BHC＝90°，

∴∠DBC+∠ACB+∠ACE＝90°，

∴∠ACE＝∠DBC＝15°，

∴∠EBC＝30°，

∴∠CFB＝90°，

∴CF＝BC＝3，

∴△BEC的面積＝×BE×CF＝9．