Question

【題目】如圖，若m是正數，直線l：y＝－m與y軸交于點A；直線a：y＝x+m與y軸交于點B；拋物線L：y＝ x2+mx的頂點為C，且L與x軸左交點為D．

（1）若AB＝12，求m的值，此時在拋物線的對稱軸上存在一點Ｐ使得△的周長最小，求點Ｐ坐標；

（2）當點C在直線l上方時，求點C與直線l距離的最大值；

（3）在拋物線L和直線a所圍成的封閉圖形的邊界上，把橫、縱坐標都是整數的點稱為“美點”，分別直接寫出m＝2020和m＝2020.5時“美點”的個數．

Answer 1

【答案】（1）P（－3，3 ）；（2）點C與l距離的最大值為1；（3）m＝2020時“美點”的個數為4042個，m＝2020.5時“美點”的個數為1011個

【解析】

解：（1）求出A、B點坐標，分別為A（0，－m）、B （0，m），又AB＝8，而可得到m－（﹣m）＝12，即可求出m.又知Ｏ、Ｄ兩點關于對稱軸對稱時，即OP=DP時，OB+OP+PB=OB+DP+PB 當B、P、D三共線時△周長最短，求出P點坐標即可.

（2）將二次函數轉為頂點式，y＝（x+ ）2－，寫出頂點坐標C

C與l的距離≤1，據此可判斷出最大距離.

（3）分別求出當m＝2020時，與當m＝2020.5時，利用拋物線解析式與直線解析式求出交點坐標，求出兩種情況下的的美點個數即可，注意分類討論。

解：（1）當x＝0吋，y＝x+m＝m，

∴B （0，m），

∵AB＝8，而A（0，－m），

∴m－（﹣m）＝12，

∴m＝6．

∴L：y＝x2+6x，

∴L的對稱軸x＝－3，

又知Ｏ、Ｄ兩點關于對稱軸對稱，則OP=DP

∴OB+OP+PB=OB+DP+PB 當B、P、D三共線時△周長最短，此時點P為直線a與對稱軸的交點，當x＝－3吋，y＝x+6＝3，

∴P（－3，3 ）

（2）y＝（x+ ）2－，

∴L的頂點C

∵點C在l上方，

∴C與l的距離≤1，

∴點C與l距離的最大值為1

（3）當m＝2020時，共有4042個美點，當m＝2020.5時，共有1011個美點。

①當m＝2020時，拋物線解析式L：y＝x2+2020x

直線解析式a：y＝x+2020

聯立上述兩個解析式可得：x1＝﹣2020，x2＝1，

∴可知每一個整數x的值 都對應的一個整數y值，且﹣2020和1之間（包括﹣2020和1）共有2022個整數；

∵另外要知道所圍成的封閉圖形邊界分兩部分：線段和拋物線，

∴線段和拋物線上各有2022個整數點

∴總計4044個點，

∵這兩段圖象交點有2個點重復重復，

∴美點”的個數：4044﹣2＝4042（個）；

②當m＝2020.5時，

拋物線解析式L：y＝x2+2020.5x，

直線解析式a：y＝x+2020.5，

聯立上述兩個解析式可得：x1＝﹣2020.5，x2＝1，

∴當x取整數時，在一次函數y＝x+2020.5上，y取不到整數值，因此在該圖象上“美點”為0，

在二次函數y＝x2+2020.5x圖象上，當x為偶數時，函數值y可取整數，

可知﹣2020.5到1之間有1010個偶數，并且在﹣2020.5和1之間還有整數0，驗證后可知0也符合

條件，因此“美點”共有1011個．

故m＝2020時“美點”的個數為4042個，m＝2020.5時“美點”的個數為1011個