Question

【題目】如圖，AB 為圓O的直徑，PQ切圓O于T，AC⊥PQ于C，交圓O于D .

（1）求證：AT平分∠BAC ;

（2）若 AD =2，TC=，求圓O的半徑.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）2

【解析】

試題分析：（1）PQ切⊙O于T，則OT⊥PC，根據AC⊥PQ，則AC∥OT，要證明AT平分∠BAC，只要證明∠TAC=∠ATO就可以了.

（2）過點O作OM⊥AC于M，則滿足垂徑定理，在直角△AOM中根據勾股定理就可以求出半徑OA.

試題解析：（1）連接OT；

∵PQ切⊙O于T，

∴OT⊥PQ，

又∵AC⊥PQ，

∴OT∥AC，

∴∠TAC=∠ATO；

又∵OT=OA，

∴∠ATO=∠OAT，

∴∠OAT=∠TAC，

即AT平分∠BAC.

（2）過點O作OM⊥AC于M，

∴AM=MD==1；

又∠OTC=∠ACT=∠OMC=90°，

∴四邊形OTCM為矩形，

∴OM=TC=，

∴在Rt△AOM中，

AO===2；

即⊙O的半徑為2.