Question

【題目】如圖甲，點(diǎn)C將線段AB分成兩部分（AC＞BC），如果 = ，那么稱(chēng)點(diǎn)C為線段AB的黃金分割點(diǎn)．某數(shù)學(xué)興趣小組在進(jìn)行課題研究時(shí)，由黃金分割點(diǎn)聯(lián)想到“黃金分割線”，類(lèi)似地給出“黃金分割線”的定義：直線l將一個(gè)面積為S的圖形分成面積分別為S1 ， S2（S1＞S2）的兩部分，如果 = ，那么稱(chēng)直線l為該圖形的黃金分割線．

（1）如圖乙，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，∠ACB的平分線交AB于點(diǎn)D，請(qǐng)問(wèn)點(diǎn)D是否是AB邊上的黃金分割點(diǎn)，并證明你的結(jié)論；
（2）若△ABC在（1）的條件下，如圖丙，請(qǐng)問(wèn)直線CD是不是△ABC的黃金分割線，并證明你的結(jié)論；
（3）如圖丁，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D為斜邊AB上的一點(diǎn)，（不與A，B重合）過(guò)D作DE⊥BC于點(diǎn)E，連接AE，CD相交于點(diǎn)F，連接BF并延長(zhǎng)，與DE，AC分別交于點(diǎn)G，H．請(qǐng)問(wèn)直線BH是直角三角形ABC的黃金分割線嗎？并說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：點(diǎn)D是AB邊上的黃金分割點(diǎn)．理由如下：

∵AB=AC，∠A=36°，

∴∠B=∠ACB=72°，

∵CD是角平分線，

∴∠ACD=∠BCD=36°，

∴∠A=∠ACD，

∴AD=CD，

∵∠CDB=180°﹣∠B﹣∠BCD=72°，

∴∠CDB=∠B，

∴BC=CD，

∴BC=AD．

在△BCD與△BCA中，∠B=∠B，∠BCD=∠A=36°，

∴△BCD∽△BAC，

∴ ，

∴ ，

∴點(diǎn)D是AB邊上的黃金分割點(diǎn)．

（2）直線CD是△ABC的黃金分割線．理由如下：

證明：設(shè)△ABC中，AB邊上的高為h，則S△ABC= ABh，S△ACD= ADh，S△BCD= BDh，

∴S△ACD：S△ABC=AD：AB，S△BCD：S△ACD=BD：AD，

由（1）知，點(diǎn)D是AB邊上的黃金分割點(diǎn)，

∴ ，

∴S△ACD：S△ABC=S△BCD：S△ACD，

∴CD是△ABC的黃金分割線．

（3）解：直線BH不是△ABC的黃金分割線．理由如下：

∵DE∥AC，

∴ ， ，

∴ ， ，

∴ ，

∴AH2=HC2，

∴AH=HC，

∴S△BHA=S△BHC= S△ABC，

∴BH不是△ABC的黃金分割線．

【解析】（1）根據(jù)等邊對(duì)等角得出∠B=∠ACB=72°，根據(jù)角平分線的定義及等量代換得出∠A=∠ACD，進(jìn)而根據(jù)等角對(duì)等邊得出AD=CD，BC=CD，從而得出BC=AD．然后判斷出△BCD∽△BAC，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例得出=,從而得出=，從而得出結(jié)論點(diǎn)D是AB邊上的黃金分割點(diǎn)；
（2）設(shè)△ABC中，AB邊上的高為h，根據(jù)三角形的面積公式，則S△ABC= ABh，S△ACD= ADh，S△BCD= BDh，故S△ACD：S△ABC=AD：AB，S△BCD：S△ACD=BD：AD，由（1）知，點(diǎn)D是AB邊上的黃金分割點(diǎn)，故=，根據(jù)等量代換得S△ACD：S△ABC=S△BCD：S△ACD，從而得出結(jié)論；
（3）直線BH不是△ABC的黃金分割線．理由如下：根據(jù)平行線分線段成比例定理得出AH2=HC2，故AH=HC，從而S△BHA=S△BHC= S△ABC，得出結(jié)論BH不是△ABC的黃金分割線．
【考點(diǎn)精析】通過(guò)靈活運(yùn)用三角形的面積和平行線分線段成比例，掌握三角形的面積=1/2×底×高；三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例即可以解答此題．