Question

【題目】如圖，△ABC是等邊三角形，AQ=PQ，PR⊥AB于點R，PS⊥AC于點S，PR=PS，則下列結論：①點P在∠A的角平分線上； ②AS=AR； ③QP∥AR； ④△BRP≌△QSP．正確的有（ ）

A.1個
B.2個
C.3個
D.4個

Answer 1

【答案】D
【解析】解：∵△ABC是等邊三角形，PR⊥AB，PS⊥AC，且PR=PS，
∴P在∠A的平分線上，故①正確；
由①可知，PB=PC，∠B=∠C，PS=PR，
∴△BPR≌△CPS，
∴AS=AR，故②正確；
∵AQ=PQ，
∴∠PQC=2∠PAC=60°=∠BAC，
∴PQ∥AR，故③正確；
由③得，△PQC是等邊三角形，
∴△PQS≌△PCS，
又由②可知，④△BRP≌△QSP，故④也正確，
∵①②③④都正確，
故選D．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用角平分線的性質定理和等邊三角形的性質的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握定理1：在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等； 定理2：一個角的兩邊的距離相等的點，在這個角的平分線上；等邊三角形的三個角都相等并且每個角都是60°．