Question

【題目】如圖，在等腰△ABC中，AC＝BC，D在BC上，P是射線AD上一動點．

（1）如圖①，若∠ACB＝90°，AC＝8，CD＝6，當點P在線段AD上，且△PCD是等腰三角形時，求AP長．

（2）如圖②，若∠ACB＝90°，∠APC＝45°，當點P在AD延長線上時，探究PA，PB，PC的數量關系，并說明理由．

（3）類比探究：如圖③，若∠ACB＝120°，∠APC＝30°，當點P在AD延長線上時，請直接寫出表示PA，PB，PC的數量關系的等式．

Answer 1

【答案】（1）滿足條件的AP的值為2.8或4或5；（2）PA﹣PB＝PC．理由見解析；（3）PA﹣PB＝PC．理由見解析.

【解析】

（1）如圖①中，作CH⊥AD于H．利用面積法求出CH，利用勾股定理求出DH，再求出PD，接下來分三種情形解決問題即可；

（2）結論：PA﹣PB＝PC．如圖②中，作EC⊥PC交AP于E．只要證明△ACE≌△BCP即可解決問題；

（3）結論：PA﹣PB＝PC．如圖③中，在AP上取一點E，使得∠ECP＝∠ACB＝120°．只要證明△ACE≌△BCP即可解決問題；

（1）如圖①中，作CH⊥AD于H．

在Rt△ACD中，AD＝＝10，

∵×AC×DC＝×AD×CH，

∴CH＝，

∴DH＝＝，

①當CP＝CD，∵CH⊥PD，

∴PH＝DH＝，

∴PD＝，

∴PA＝AD﹣PD＝10﹣＝．

②當CD＝DP時，DP＝6．AP＝10﹣6＝4，

③當CP＝PD時，易證AP＝PD＝5，

綜上所述，滿足條件的AP的值為2.8或4或5．

（2）結論：PA﹣PB＝PC．

理由：如圖②中，作EC⊥PC交AP于E．

∵∠PCE＝90°，∠CPE＝45°，

∴∠CEP＝∠CPE＝45°，

∴CE＝CP，PE＝PC，

∵∠ACB＝∠ECP＝90°，

∴∠ACE＝∠BCP，

∵CA＝CB，

∴△ACE≌△BCP，

∴AE＝PB，

∴PA﹣PB＝PA﹣EA＝PE＝PC，

∴PA﹣PB＝PC．

（3）結論：PA﹣PB＝PC．

理由：如圖③中，在AP上取一點E，使得∠ECP＝∠ACB＝120°．

∵∠CEP＝180°﹣120°﹣30°＝30°，

∴∠CEP＝∠CPE，

∴CE＝CP．作CH⊥PE于H，則PE＝PC，

∵∠ACB＝∠ECP，

∴∠ACE＝∠BCP，

∵CA＝CB，

∴△ACE≌△BCP，

∴AE＝PB，

∴PA﹣PB＝PA﹣EA＝PE＝PC．