Question

已知關于x的方程x²-（2k-3）x+k²+1=0．
問：（1）當k為何值時，此方程有實數根；
（2）若此方程的兩實數根x₁、x₂，滿足|x₁|+|x₂|=3，求k的值．

Answer 1

分析：（1）由于方程有實數根，所以利用其判別式是非負數即可求解；
（2）由于方程的兩實數根x₁、x₂，滿足|x₁|+|x₂|=3，首先把等式兩邊同時平方，然后利用根與系數的關系即可求解．

解答：解：（1）若方程有實數根，
則△=（2k-3）²-4（k²+1）≥0，
∴k≤

5

12

，
∴當k≤

5

12

，時，此方程有實數根；
（2）∵此方程的兩實數根x₁、x₂，滿足|x₁|+|x₂|=3，
∴（|x₁|+|x₂|）²=9，
∴x₁²+x₂²+2|x₁x₂|=9，
∴（x₁+x₂）²-2x₁x₂+2|x₁x₂|=9，
而x₁+x₂=2k-3，x₁x₂=k²+1，
∴（2k-3）²-2（k²+1）+2（k²+1）=9，
∴2k-3=3或-3，
∴k=0或3，k=3不合題意，舍去；
∴k=0．

點評：此題分別考查了一元二次方程根的判別式和根與系數的關系，首先利用判別式求出k的取值范圍，然后利用根與系數的關系得到關于k的方程，解方程即可解決問題．