Question

（9分）在平面直角坐標系xOy中，點B(0，3)，點C是x軸正半軸上一點，連結BC，過點C作直線CP∥y軸.

（1）若含45°角的直角三角形如圖所示放置．其中，一個頂點與點O重合，直角頂點D在線段BC上，另一個頂點E在CP上．求點C的坐標；
（2）若含30°角的直角三角形一個頂點與點O重合，直角頂點D在線段BC上，另一個頂點E在CP上，求點C的坐標．

Answer 1

(1) C(3，0) ,（2）（，0） (3,0).

試題分析：由題意知，求C點坐標很難，所以要做輔助線，結合平面直角坐標系的性質求得，在（2）中由已知得有兩種情況，解：（1）過點D分別作DG⊥x軸于G，
DH⊥PC于H.   1分；

∴，
∵△ODE是等腰直角三角形，
∴OD=DE，，
∵CP∥y軸，
∴四邊形DGCH是矩形，     2分；
∴，DH=GC.
∴，
∴，
∴△ODG≌△EDH.          3分；
∴DG=DH.
∴DG=GC，
∴△DGC是等腰直角三角形，
∴，      4分；
∴tan，
∴OC=OB="3."
∴點C的坐標為（3,0）     5分；
分兩種情況：
當時，
過點D分別作DG⊥x軸于G，
DH⊥PC于H.  

∴，
∵△ODE是直角三角形，
∴tan，
，
∵CP∥y軸，
∴四邊形DGCH是矩形，
∴，DH=GC.
∴，
∴，
∴△ODG∽△EDH.         6分；
∴.
∴，
∴tan，
∴，
∴tan，
∴OC=.           7分；
當時，
過點D分別作DG⊥x軸于G，
DH⊥PC于H.  

∴，
∵△ODE是直角三角形，
∴tan，
，
∵CP∥y軸，
∴四邊形DGCH是矩形，
∴，DH=GC.
∴，
∴，
∴△ODG∽△EDH.        8分；
∴.
∴，
∴tan，
∴，
∴tan，
∴OC=.         9分.
∴點C的坐標為（,0）、（,0）.
點評：熟練掌握以上各定義性質，在解題時要結合已知所給的條件，在做輔助線的情況下，可求得，第二問求之值時，容易遺漏，需注意，本題涉及到的知識面廣，計算量教大，也容易出錯。綜合性很強，屬于難題。