Question

如圖，射線OC的解析式y=

3

3

x（x≥0），在射線OC上取一點A，過點A作AH⊥x軸于點H．設拋物線 y=x²（x＞0）與射線OC的交點為P，在y軸上取點Q，使得以P，O，Q為頂點的三角形與△AOH相似，則符合條件的點Q的坐標是

（0，

1

3

）或（0，

4

3

）

．

Answer 1

分析：首先根據兩個函數求得點P的坐標，然后求得線段PO的長和∠AOH的度數，然后分兩種情況求得點Q的坐標即可．

解答：解：∵y=

3

3

x與拋物線 y=x²交點為P，
∴

y= 3 3 x y=x2

解得：x=0或x=

3

3

∵點P在第一象限，
∴x=

3

3

∴y=

3

3

×

3

3

=

1

3

∴點P的坐標為（

3

3

，

1

3

）．
∴PO=

( 1 3 )2+( 3 3 )2

=

2

3

設A點的坐標為（a，b）
∵點A在射線OC上，
∴b=

3

3

a
∴

AH

OH

=

b

a

=

3

3

，
∴∠AOH=30°，
①如圖1，作PQ₁⊥y軸，
此時△PQ₁O∽△OHA
∴P點的縱坐標與Q₁的縱坐標相同，
∴點Q¹的坐標為（0，

1

3

）；
②如圖2，△Q₂PO∽△OHA，
∴∠OQ₂P=∠AOH=30°，
∴OQ₂P=2PO=2×

2

3

=

4

3

，
此時Q₂的坐標為（0，

，4

3

），
故答案為：（0，

1

3

）或（0，

4

3

）

點評：此題主要考查的是二次函數的綜合知識以及函數圖象交點坐標的求法；由于相似三角形的對應頂點不明確，因此要注意分類討論思想的運用．