Question

【題目】已知關(guān)于x的方程x2﹣（2k+1）x+k2+1=0．
（1）若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求k的取值范圍；
（2）若方程的兩根恰好是一個(gè)矩形的兩邊長(zhǎng)，且k=4，求該矩形的周長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵關(guān)于x的方程x2﹣（2k+1）x+k2+1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

∴△＞0，

∴[﹣（2k+1）]2﹣4（k2+1）＞0，

解得k＞ ．

則k的取值范圍是k＞ ；

（2）解：當(dāng)k=4時(shí)，原方程可化為x2﹣9x+17=0，

設(shè)方程的兩根是x1、x2，則矩形兩鄰邊的長(zhǎng)是x1、x2，

∵x1+x2=9，

∴該矩形的周長(zhǎng)為2（x1+x2）=18．

【解析】（1）根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則△＞0，建立不等式，求出解集即可。
（2）將k的值代入方程，由于方程的兩根恰好是一個(gè)矩形的兩邊長(zhǎng)，要求該矩形的周長(zhǎng)，只需求出此方程的兩根之和，即可求得矩形的周長(zhǎng)。
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的求根公式和根與系數(shù)的關(guān)系，需要了解根的判別式△=b2-4ac，這里可以分為3種情況：1、當(dāng)△>0時(shí)，一元二次方程有2個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根2、當(dāng)△=0時(shí)，一元二次方程有2個(gè)相同的實(shí)數(shù)根3、當(dāng)△<0時(shí)，一元二次方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根；一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系數(shù)a、b、c而定；兩根之和等于方程的一次項(xiàng)系數(shù)除以二次項(xiàng)系數(shù)所得的商的相反數(shù)；兩根之積等于常數(shù)項(xiàng)除以二次項(xiàng)系數(shù)所得的商才能得出正確答案．