Question

如圖，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，點A、B的坐標分別為（8，0）、（0，6）．動點Q從點O、動點P從點A同時出發，分別沿著OA方向、AB方向均以1個單位長度/秒的速度勻速運動，運動時間為t（秒）（0＜t≤5）．以P為圓心，PA長為半徑的⊙P與AB、OA的另一個交點分別為C、D，連接CD、QC．
（1）求當t為何值時，點Q與點D重合？
（2）設△QCD的面積為S，試求S與t之間的函數關系式，并求S的最大值；
（3）若⊙P與線段QC只有一個交點，請直接寫出t的取值范圍．

Answer 1

（1）   （2）S的最大值為15   （3）0＜t≤或＜t≤5

解：（1）∵A（8，0），B（0，6），
∴OA=8，OB=6，
∴AB===10，
∴cos∠BAO==，sin∠BAO==．
∵AC為⊙P的直徑，
∴△ACD為直角三角形．
∴AD=AC•cos∠BAO=2t×=t．
當點Q與點D重合時，OQ+AD=OA，
即：t+t=8，
解得：t=．
∴t=（秒）時，點Q與點D重合．
（2）在Rt△ACD中，CD=AC•sin∠BAO=2t×=t．
①當0＜t≤時，
DQ=OA﹣OQ﹣AD=8﹣t﹣t=8﹣t．
∴S=DQ•CD=（8﹣t）•t=﹣t²+t．
∵﹣=，0＜＜，
∴當t=時，S有最大值為；
②當＜t≤5時，
DQ=OQ+AD﹣OA=t+t﹣8=t﹣8．
∴S=DQ•CD=（t﹣8）•t=t²﹣t．
∵﹣=，＜，所以S隨t的增大而增大，
∴當t=5時，S有最大值為15＞．
綜上所述，S的最大值為15．
（3）當CQ與⊙P相切時，有CQ⊥AB，
∵∠BAO=∠QAC，∠AOB=∠ACQ=90°，
∴△ACQ∽△AOB，
∴=，
即=，
解得t=．
所以，⊙P與線段QC只有一個交點，t的取值范圍為0＜t≤或＜t≤5．
（1）根據點A、B的坐標求出OA、OB，利用勾股定理列式求出AB，根據點Q的速度表示出OQ，然后求出AQ，再根據直徑所對的圓周角是直角可得∠ADC=90°，再利用∠BAO的余弦表示出AD，然后列出方程求解即可；
（2）利用∠BAO的正弦表示出CD的長，然后分點Q、D重合前與重合后兩種情況表示出QD，再利用三角形的面積公式列式整理，然后根據二次函數的最值問題解答；
（3）有兩個時段內⊙P與線段QC只有一個交點：①運動開始至QC與⊙P相切時（0＜t≤）；②重合分離后至運動結束（＜t≤5）．