Question

【題目】已知一次函數的圖像經過點M（－1，3）、N（1，5）。直線MN與坐標軸相交于點A、B兩點．

（1）求一次函數的解析式．

（2）如圖，點C與點B關于x軸對稱，點D在線段OA上，連結BD，把線段BD順時針方向旋轉90°得到線段DE，作直線CE交x軸于點F，求的值．

（3）如圖，點P是直線AB上一動點，以OP為邊作正方形OPNM，連接ON、PM交于點Q，連BQ，當點P在直線AB上運動時，的值是否會發生變化，若不變，請求出其值；若變化，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x+4．（2）；（3）不變，．

【解析】

試題（1）用待定系數法，將M，N兩點坐標代入解析式求出k，b即得一次函數解析式；（2）∵點C與點B關于x軸對稱，B（0，4），∴C（0，-4），再由旋轉性質可得DB=DE，∠BDE=90，過點E作EP⊥x軸于P，易證△BDO≌△DEP，∴OD=PE，DP=BO=4，設D（，0），則E（，），設直線CE解析式是：y=kx+b，把C，E兩點坐標代入得：，∴，∴CE解析式是y=x-4，∴F（4，0），OC=OF=4，∴PE=PF，∴EF=，∵A（-4，0），∴DF=4+a，DA=4-a，∴===；（3）此題連接BM，因為AO=BO，MO=PO，且∠BOM=∠AOP，得出△BOM≌△AOP（SAS），∵∠PAO=135，∴∠MBP=∠PAO=135，∴∠MBP＝90°，在Rt△MBP中，MQ=PQ，∴BQ是此直角三角形斜邊中線，等于斜邊一半，BQ＝MP，MP又是正方形對角線，∴MP＝OP，∴BQ:OP=MP:OP=×OP:OP=，∴的值不變，是．

試題解析：（1）用待定系數法，將M，N兩點坐標代入解析式得：，解得b=4，k=1，∴一次函數的解析式是y=x+4；（2）∵點C與點B關于x軸對稱，B（0，4），∴C（0，-4），再由旋轉性質可得DB=DE，∠BDE=90，過點E作EP⊥x軸，易證△BDO≌△DEP，設D（，0），則E（，）設直線CE解析式是：y=kx+b，，把C，E兩點坐標代入得：，∴∴CE解析式:y=x-4，y=0時，，x=4，∴F（4，0），OC=OF=4，∴PE=PF，∴EF=，∵A（-4，0），∴DF=4+a，DA=4-a，

∴===．∴的值是．

（3）連結BM，由正方形性質可得OM=OP，∠MOP=90，由A，B點坐標可得AO=BO，又∵∠BOM=∠AOP（同角的余角相等），可證△BOM≌△AOP（SAS），∴∠MBO＝∠PAO＝180-45=135°，∴∠MBP＝135-45=90°，在Rt△MBP中，MQ=PQ，BQ是此直角三角形斜邊中線，等于斜邊一半，∴BQ＝MP；在Rt△MOP中，，MP＝OP；∴BQ:OP=MP:OP=×OP:OP=，當點P在直線AB上運動時，的值不變，是，∴