Question

【題目】如圖①，在平面直角坐標系中，拋物線C1：y=（x+k）（x﹣3）交x軸于點A、B（A在B的右側），交y軸于點C，橫坐標為2k的點P在拋物線C1上，連結PA、PC、AC，設△ACP的面積為S．

（1）求直線AC對應的函數表達式（用含k的式子表示）．

（2）當點P在直線AC的下方時，求S取得最大值時拋物線C1所對應的函數表達式．

（3）當k取不同的值時，直線AC、拋物線C1和點P、點B都隨k的變化而變化，但點P始終在不變的拋物線（虛線）C2：y=ax2+bx上，求拋物線C2所對應的函數表達式．

（4）如圖②，當點P在直線AC的下方時，過點P作x軸的平行線交C2于點F，過點F作y軸的平行線交C1于點E，當△PEF與△ACO的相似比為時，直接寫出k的值．

Answer 1

【答案】（1）y=kx﹣3k；（2）C1：y=x2﹣﹣；（3）C2：y=x2﹣x；（4）k的值為或．

【解析】分析：（1）先求點A和C的坐標，利用待定系數法求直線AC的解析式；
（2）如圖①，作輔助線，構建鉛直線PM，利用S△PAC=S△PQC+S△PQA表示S的關系式，設表示PQ的長，代入可得S與k的關系式，利用頂點式求最值，將k值代入C1的解析式即可；
（3）任意取兩個k的值代入到點P的坐標中，如：當k=1時,此時P(2,3),當k=2時,P(4,6)，代入拋物線C2所對應的函數表達式中可得結論；
（4）如圖②，由△ACO和△PEF都是直角三角形,相似比為,所以存在兩種情況：
①當△PEF∽△CAO時, ②當時，列比例式，根據點P的縱坐標的絕對值等于點E的縱坐標的絕對值與EF的和列等式可得k的值，并根據題意進行取舍．

詳解：(1)在y=(x+k)(x3)中，

令y=0,可得A(3,0),B(k,0)，

令x=0,可得C(0,3k)，

設直線AC對應的函數表達式為：y=mx+n，

將A(3,0),C(0,3k)代入得：

解得：

∴直線AC對應的函數表達式為：y=kx3k；

(2)如圖①，過點P作y軸的平行線交AC于點Q，交x軸于點M，

過C作CN⊥PM于N,

當x=2k時,

∵點P、Q分別在拋物線C1、直線AC上，

∴

∴

∴S△PAC=S△PQC+S△PQA

∴當時,△PAC面積的最大值是

此時,C1:

(3)∵點P在拋物線C1上，

∴P(2k,6k29k)，

當k=1時,此時P(2,3),當k=2時,P(4,6)，

把(2,3)和(4,6)代入拋物線(虛線)C2:上得：

解得： ，

∴拋物線C2所對應的函數表達式為：

(4)如圖②,由題意得：△ACO和△PEF都是直角三角形,且，

∵點P在直線AC的下方,橫坐標為2k的點P在拋物線C1上，

∴P(2k,6k29k),且，

∵A(3,0),C(0,3k)，

∴OA=3，OC=3k，

∴當△PEF與△ACO的相似比為時，存在兩種情況：

①當△PEF∽△CAO時,

∴

∴PF=k，EF=1，

∴

∵EF=1，

∴

(舍)，

②當△PEF∽△ACO時,

∴

∴PF=1，EF=k，

∴

∴

綜上所述,k的值為或 .