Question

如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，E是DC中點，點F在BC邊上，且CF=1，在△AEF中作正方形A₁B₁C₁D₁，使邊A₁B₁在AF上，其余兩個頂點C₁、D₁分別在EF和AE上．
（1）請直接寫出圖中兩直角邊之比等于1：2的三個直角三角形（不另添加字母及輔助線）；
（2）求AF的長及正方形A₁B₁C₁D₁的邊長；
（3）在（2）的條件下，取出△AEF，將△EC₁D₁沿直線C₁D₁、△C₁FB₁沿直線C₁B₁分別向正方形A₁B₁C₁D₁內折疊，求小正方形A₁B₁C₁D₁未被兩個折疊三角覆蓋的四邊形面積．

Answer 1

分析：（1）圖中滿足直角邊之比等于1：2的直角三角形共有6個，Rt△CEF與Rt△ADE比較明顯，打開找出另外四個之一的“缺口”是證出∠AEF=90°．下面給出兩種思路：思路一是先證出△ADE∽△ECF，得到∠FEC=∠EAD，結合Rt△ADE中有∠DEA+∠EAD=90°，可得∠DEA+∠FEC=90°，從而∠AEF=90°．思路二是在△ADE、△ECF和△ABF中分別使用勾股定理求出AE、EF和AF的長，再由勾股定理的逆定理證出∠AEF=90°；
（2）由EM×AF=AE×EF=2S_△AEF可以求出EM=2，另外由△D₁C₁E∽△AFE得出

EN

EM

=

D1C1

AF

是利用了“相似三角形對應高的比等于相似比”這一性質，這也是解決形如圖2問題的基本方法．該小題如果注意到△AA₁D₁與△C₁B₁F都是直角邊之比等于1：2的直角三角形的話，不添輔助線也可得出答案：設正方形A₁B₁C₁D₁的邊長為x，則AA₁=2x，B₁F=

1

2

x，因為AA₁+A₁B₁+B₁F=AF=5，所以2x+x+

1

2

x=5，解得正方形的邊長x=

10

7

；
（3）如何說明△EC₁D₁沿直線C₁D₁、△C₁FB₁沿直線C₁B₁分別向正方形A₁B₁C₁D₁內折疊以后兩個三角形的交界處既不重疊又沒有空隙是一個難點，比較容易忽略，值得引起重視．下面給出一種另解供參考：由△E₁C₁D₁、△C₁B₁F₁分別由△EC₁D₁、△C₁FB₁折疊而成，可得∠3=∠4、∠1=∠2，因為正方形A₁B₁C₁D₁中有∠D₁C₁B1=90°，所以∠4+∠1=180°-90°=90°，即∠2+∠3=90°=∠D₁C₁B₁，從而C₁E₁與C₁F₁重合在一條直線上（或三點C₁、E₁、F₁在一條直線上）．

解答：解：（1）Rt△CEF、Rt△ADE、Rt△AEF、Rt△AA₁D₁、
Rt△ED₁C₁、Rt△C₁B₁F．（寫出其中三個即可）

（2）AF=

AB2+BF2

=5
過E作EM⊥AF，垂足為M，交D₁C₁于N，則
∵AD=4，DE=EC=2，CF=1，
∴EF=

5

，AE=

AD2+DE2

=2

5

，
∵EM×AF=AE×EF=2S_△AEF，即5EM=

5

×2

5

，
∴EM=2，
∵四邊形A₁B₁C₁D₁是正方形
∴D₁C₁∥AF
∴△D₁C₁E∽△AFE
∴

EN

EM

=

D1C1

AF

設正方形A₁B₁C₁D₁的邊長為x，則

2-x

2

=

x

5

解得x=

10

7

∴正方形A₁B₁C₁D₁的邊長為

10

7

．

（3）∵D₁C₁=

10

7

，EN=2-

10

7

=

4

7

∴S_△D1EC1=

1

2

×

10

7

×

4

7

=

20

49

∴

C1B1

B1F

=

2

1

，C₁B₁=

10

7

∴B₁F=

5

7

∴S_△C1B1F1=

1

2

×

10

7

×

5

7

=

25

49

∵∠1=∠2，∠1+∠4=90°，∠2+∠3=90°
∴∠3=∠4
∴E₁點在C₁F₁上
又∵S正方形A1B1 C1D1=（

10

7

）²=

100

49

∴S_{未被覆蓋四邊形}=

100

49

-

25

49

-

20

49

=

55

49

．

點評：本題主要考查學生抽象思維能力，錯誤的主要原因是空間觀念以及轉化的能力不強，缺乏邏輯推理能力，需要在平時生活中多加培養．