Question

【題目】如圖，已知直線y=﹣x+3與x軸、y軸分別相交于點A、B，再將△A0B沿直錢CD折疊，使點A與點B重合．折痕CD與x軸交于點C，與AB交于點D．

（1）點A的坐標為　　；點B的坐標為　　；

（2）求OC的長度，并求出此時直線BC的表達式；

（3）直線BC上是否存在一點M，使得△ABM的面積與△ABO的面積相等？若存在，請直接寫出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（4，0），（0，3）；（2）y=﹣x+3;（3）見解析．

【解析】

（1）利用待定系數法即可解決問題；

（2）設OC=x，則AC=BC=4﹣x，在Rt△BOC中，利用勾股定理求出x，再利用待定系數法求出直線BC的解析式即可；

（3）過點O作OM∥AB交直線BC于M．由OM∥AB，可知S△AOB=S△ABM，由直線AB的解析式為，OM∥AB，推出直線OM的解析式為，由 解得 ，可得M，根據對稱性可知，經過點O′（0，6）與直線AB平行的直線與直線BC的交點M′，也滿足條件．

解：（1）令y=0，則x=4；令x=0，則y=3，

故點A的坐標為（4，0），點B的坐標為（0，3）．

故答案為（4，0），（0，3）；

（2）設OC=x，

∵直線CD垂直平分線段AB，

∴AC=CB=4﹣x，

∵∠BOA=90°，

∴OB2+OC2=CB2，

32+x2=（4﹣x）2，

解得

∴

∴設直線BC的解析式為y=kx+b，

則有

解得

∴直線BC的解析式為

（3）過點O作OM∥AB交直線BC于M．

∵OM∥AB，

∴S△AOB=S△ABM，

∵直線AB的解析式為，OM∥AB，

∴直線OM的解析式為

由解得，

∴M，

根據對稱性可知，經過點O′（0，6）與直線AB平行的直線與直線BC的交點M′，也滿足條件，易知BM′=BM，

設M′（m，n），則有

∴

∴M′

綜上所述，滿足條件的點M坐標為或．