Question

【題目】如圖，AC平分鈍角∠BAE交過B點的直線于點C，BD平分∠ABC交AC于點D，且∠BAD+∠ABD＝90°．

（1）求證：AE∥BC；

（2）點F是射線BC上一動點（點F不與點B，C重合），連接AF，與射線BD相交于點P．

（ⅰ）如圖1，若∠ABC＝45°，AF⊥AB，試探究線段BF與CF之間滿足的數量關系；

（ⅱ）如圖2，若AB＝10，S△ABC＝30，∠CAF＝∠ABD，求線段BP的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）（ⅰ）BF＝（2+）CF；理由見解析；（ⅱ）BP＝．

【解析】

（1）先求出∠BAE+∠ABC＝180°，再根據同旁內角互補兩直線平行，即可證明AE∥BC．

（2）（ⅰ）過點A作AH⊥BC于H，如圖1所示，先證明△ABH、△BAF是等腰直角三角形，再根據等腰直角三角形的性質，求證BF＝（2+）CF即可．

（ⅱ）①當點F在點C的左側時，作PG⊥AB于G，如圖2所示，先通過三角形面積公式求出AF的長，再根據勾股定理求得BF、AC、BD的長，證明Rt△BPG≌Rt△BPF（HL），以此得到AD的長，設AP＝x，則PG＝PF＝6﹣x，利用勾股定理求出AP的長，再利用勾股定理求出PD的長，通過BP＝BD﹣PD即可求出線段BP的長．

②當點F在點C的右側時，則∠CAF＝∠ACF'，P’和F’分別對應圖2中的P和F，如圖3所示，根據等腰三角形的性質求得PD＝P'D＝，再根據①中的結論，可得BP＝BP'+ P'P＝．

（1）∵AC平分鈍角∠BAE，BD平分∠ABC，

∴∠BAE＝2∠BAD，∠ABC＝2∠ABD，

∴∠BAE+∠ABC＝2（∠BAD+∠ABD）＝2×90°＝180°，

∴AE∥BC；

（2）解：（ⅰ）BF＝（2+）CF；理由如下：

∵∠BAD+∠ABD＝90°，

∴BD⊥AC，

∴∠CBD+∠BCD＝90°，

∵∠ABD＝∠CBD，

∴∠BAD＝∠BCD，

∴AB＝BC，

過點A作AH⊥BC于H，如圖1所示：

∵∠ABC＝45°，AF⊥AB，

∴△ABH、△BAF是等腰直角三角形，

∴AH＝BH＝HF，BC＝AB＝BH，BF＝AB＝×BH＝2BH，

∴CF＝BF﹣BC＝2BH﹣BH＝（2﹣）BH，

∴BH＝ ＝（1+）CF，

∴BF＝2（1+）CF＝（2+）CF；

（ⅱ）①當點F在點C的左側時，如圖2所示：

同（ⅰ）得：∠BAD＝∠BCD，

∴AB＝BC＝10，

∵∠CAF＝∠ABD，∠BAD+∠ABD＝90°，

∴∠BCD+∠CAF＝90°，

∴∠AFC＝90°，

∴AF⊥BC，

則S△ABC＝BCAF＝×10×AF＝30，

∴AF＝6，

∴BF＝＝8，

∴CF＝BC﹣BF＝10﹣8＝2，

∴AC＝＝2 ，

∵S△ABC＝ACBD＝×2×BD＝30，

∴BD＝3，

作PG⊥AB于G，則PG＝PF，

在Rt△BPG和Rt△BPF中，

，

∴Rt△BPG≌Rt△BPF（HL），

∴BG＝BF＝8，

∴AG＝AB﹣BG＝2，

∵AB＝CB，BD⊥AC，

∴AD＝CD＝AC＝，

設AP＝x，則PG＝PF＝6﹣x，

在Rt△APG中，由勾股定理得：22+（6﹣x）2＝x2，

解得：x＝，

∴AP＝，

∴PD＝，

∴BP＝BD﹣PD＝；

②當點F在點C的右側時，P’和F’分別對應圖2中的P和F，如圖3所示 ，則∠CAF＝∠CAF'，

∵BD⊥AC，

∴

∴∠APD＝∠AP'D，

∴△是等腰三角形

∴AP＝AP'，PD＝P'D＝，

∴BP＝BP'+ P'P＝；

綜上所述，線段BP的長為或 ．