Question

【題目】如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，AC⊥BD，AC平分∠BAD．

（1）給出下列四個條件：①AB＝AD，②OB＝OD，③∠ACB＝∠ACD，④AD∥BC，上述四個條件中，選擇一個合適的條件，使四邊形ABCD是菱形，這個條件是（填寫序號）；

（2）根據所選擇的條件，證明四邊形ABCD是菱形．

Answer 1

【答案】（1）④（2）見解析

【解析】

（1）根據平行四邊形的判定選擇的條件能使四邊形ABCD是平行四邊形，然后即可證明四邊形ABCD是菱形；

（2）首先證明△AOB≌△AOD，然后結合AD∥BC可得到AB＝AD= BC，根據平行四邊形的判定可得四邊形ABCD是平行四邊形，再由AC⊥BD可證□ABCD是菱形.

解：（1）選擇④可以使四邊形ABCD是菱形．

（2）證明：

∵AC⊥BD，∴∠AOB＝∠AOD＝90°．

∵AC平分∠BAD，∴∠BAO＝∠DAO．

又∵AO＝AO，∴△AOB≌△AOD．

∴AB＝AD．

∵AD∥BC，∴∠DAO＝∠BCO．

又∵∠BAO＝∠DAO，∴∠BAO＝∠BCO．

∴BA＝BC．

∴AD＝BC．

又∵AD∥BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形．

又∵AC⊥BD，∴□ABCD是菱形．