Question

【題目】綜合與實踐 在中，，點為斜邊上的動點(不與點重合)．

（1）操作發現： 如圖①，當時，把線段繞點逆時針旋轉得到線段，連接．

①的度數為________；

②當________時，四邊形為正方形；

（2）探究證明： 如圖②，當時，把線段繞點逆時針旋轉后并延長為原來的兩倍， 記為線段，連接．

①在點的運動過程中，請判斷與的大小關系，并證明；

②當時，求證：四邊形為矩形．

Answer 1

【答案】（1）①，②；（2）①；證明見解析；②見解析．

【解析】

（1）①由等腰三角形的性質得出∠A=∠ABC=45°，由旋轉的性質得：∠ACD=∠BCE，CD=CE，證明△BCE≌△ACD，即可得出結果；

②由四邊形為正方形，得BE=CD，∠CDB=90°，因為AC=BC，所以△ABC是等腰三角形，所以∠A=∠ABC=45°，解直角三角形可得CD的長，從而得到BE的長；

（2）①證明△ACD∽△BCE，即可得出；

②由垂直的定義得出，由得∠DBE=90°，因為，所以得到四邊形CDBE為矩形.

解：（1）①∵∠ACB=90°，AC=BC

∴∠A=∠ABC=45°

由旋轉的性質得：∠ACD=∠BCE，CD=CE

在△BCE和△ACD中，

∴△BCE≌△ACD（SAS）

∴∠CBE=45°

②當BE=時，四邊形為正方形.理由如下：

∵四邊形為正方形

∴BE=CD，∠CDB=90°

∴CD⊥AB

∵AC=BC=8

∴△ABC是等腰三角形

∴∠A=∠ABC=45°

∴CD=ACsin45°=8×=4

∴BE=4

即當BE=時，四邊形為正方形.

（2）①

證明：如圖，

又

②證明：由（2）①得

又

四邊形是矩形