Question

如圖，等邊三角形ABC和等邊三角形DEC，CE和AC重合，CE=AB,
(1)求證：AD=BE；
(2)若CE繞點C順時針旋轉30度，連BD交AC于點G，取AB的中點F連FG，求證：BE=2FG；
(3)在(2)的條件下AB=2，則AG= ______．（直接寫出結果）

Answer 1

（1）證明：∵三角形ABC和等三角形DEC都是等邊三角形，
∴∠BCE=∠ACD=60°，CE=CD，CB=CA，
∴△CBE≌△CAD，
∴BE=AD．
（2）證明：過B作BT⊥AC于T，連AD，如圖：

∵CE繞點C順時針旋轉30度，
∴∠ACE=30°，
∴∠GCD=90°，
又∵CE=AB，
而BT=AB，
∴BT=CD，
∴Rt△BTG≌Rt△DCG，∴BG=DG．
∵F為AB的中點，
∴FG∥AD，FG=AD，
∵∠BCE=∠ACD=90°，CB=CA，CE=CD，
∴Rt△BCE≌Rt△ACD．∴BE=AD，
∴BE=2FG；
（3）∵AB=2，由（2）Rt△BTG≌Rt△DCG，
∴AT=TC，GT=CT，
∴GT=，
∴AG=

（1）由等邊三角形ABC和等邊三角形DEC可得∠BCE=∠ACD=60°，CE=CD，CB=CA，從而得到△CBE≌△CAD，即可得到AD=BE；
（2）過B作BT⊥AC于T，連AD，由旋轉可得到CE=AB，BT=AB，則BT=CD，所以Rt△BTG≌Rt△DCG，所以BG=DG．再證得Rt△BCE≌Rt△ACD即可。
（3）由Rt△BTG≌Rt△DCG及AB的長即可求得AG。