Question

【題目】山西綿山是中國歷史文化名山，因春秋時期晉國介子推攜母隱居于此被焚而著稱，如圖1，是綿山上介子推母子的塑像，某游客計劃測量這座塑像的高度，由于游客無法直接到達塑像底部，因此該游客計劃借助坡面高度來測量塑像的高度；如圖2，在塑像旁山坡坡腳A處測得塑像頭頂C的仰角為75°，當從A處沿坡面行走10米到達P處時，測得塑像頭頂C的仰角剛好為45°，已知山坡的坡度i=1：3，且O，A，B在同一直線上，求塑像的高度．（側傾器高度忽略不計，結果精確到0.1米，參考數據：cos75°≈0.3，tan75°≈3.7， ≈1.4， ≈1.7， ≈3.2）

Answer 1

【答案】解：過點P作PE⊥OB于點E，PF⊥OC于點F，

∵i=1：3，AP=10，
設PE=x，則AE=3x，
在Rt△AEP中，x2+（3x）2=102 ，
解得：x= 或x=﹣ （舍），
∴PE= ，則AE=3 ，
∵∠CPF=∠PCF=45°，
∴CF=PF，
設CF=PF=m米，則OC=（m+ ）米，OA=（m﹣3 ）米，
在Rt△AOC中，tan75°= = ，即m+ =tan75°（m﹣3 ），
解得：m≈14.3，
∴OC=14.3+ ≈17.5米，
答：塑像的高度約為17.5米
【解析】過點P作PE⊥OB于點E，PF⊥OC于點F，設PE=x，則AE=3x，在Rt△AEP中根據勾股定理可得PE= ，則AE=3 ，設CF=PF=m米，則OC=（m+ ）米、OA=（m﹣3 ）米，在Rt△AOC中，由tan75°= 求得m的值，繼而可得答案．
【考點精析】本題主要考查了關于坡度坡角問題和關于仰角俯角問題的相關知識點，需要掌握坡面的鉛直高度h和水平寬度l的比叫做坡度(坡比)．用字母i表示，即i=h/l．把坡面與水平面的夾角記作A(叫做坡角)，那么i=h/l=tanA；仰角：視線在水平線上方的角；俯角：視線在水平線下方的角才能正確解答此題．