Question

【題目】在△ABC中，D為BC邊上一點．

（1）如圖①，在Rt△ABC中，∠C=90°，將△ABC沿著AD折疊，點C落在AB邊上．請用直尺和圓規(guī)作出點D（不寫作法，保留作圖痕跡）；
（2）如圖②，將△ABC沿著過點D的直線折疊，點C落在AB邊上的E處．
①若DE⊥AB，垂足為E，請用直尺和圓規(guī)作出點D（不寫作法，保留作圖痕跡）；
②若AB=4 ，BC=6，∠B=45°，則CD的取值范圍是 ．

Answer 1

【答案】
（1）

解：點D如圖所示．（作∠CAB的角平分線即可）

（2）解：①點D如圖所示．（過點C作CE⊥BC，交BA的延長線于E，作∠CEB的角平分線即可）

②如圖②中，設(shè)CD=DE=x，則DE=EB=x，∠DEB=90°，DB= x，
∵BC=6，
∴x+ x=6，
∴x=6 ﹣6，
如圖③中，當(dāng)E與A重合時，作AH⊥CB于H，設(shè)CD=DE=x，

在Rt△AHB中，易知AH=HB=4，∠AHB=90°，HD=x﹣2，DE=x，
∴x2=42+（x﹣2）2 ，
∴x=5，
綜上可知，CD的最大值為5，最小值為6 ﹣6，
∴6 ﹣6≤CD≤5，
故答案為6 ﹣6≤CD≤5
【解析】（1）作∠CAB的角平分線即可；（2）①過點C作CE⊥BC，交BA的延長線于E，作∠CEB的角平分線即可；②在如圖②中，求出CD的最小值，在如圖③當(dāng)E與A重合時，作AH⊥CB于H，設(shè)CD=DE=x，求出CD可得CD的最大值．
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解角平分線的性質(zhì)定理的相關(guān)知識，掌握定理1：在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等； 定理2：一個角的兩邊的距離相等的點，在這個角的平分線上．