Question

如圖，在四邊形ABCD中，AB＝BC，對角線BD平分ÐABC，P是BD上一點，過點P作PM^AD，PN^CD，垂足分別為M、N.

（1）求證：ÐADB＝ÐCDB；
（2）若ÐADC＝90°，求證：四邊形MPND是正方形.

Answer 1

（1）證明見解析；（2）證明見解析.

試題分析：（1）根據角平分線的性質和全等三角形的判定方法證明△ABD≌△CBD，由全等三角形的性質即可得到：∠ADB=∠CDB；（2）若∠ADC=90°，由（1）中的條件可得四邊形MPND是矩形，再根據兩邊相等的四邊形是正方形即可證明四邊形MPND是正方形.
試題解析：（1）∵BD平分ÐABC，∴ÐABD=ÐCBD.
又∵BA=BC，BD=BD，∴△ABD ≌△CBD（SAS）.∴ÐADB=ÐCDB.
（2）∵PM^AD，PN^CD，∴ÐPMD=ÐPND=90°.
又∵ÐADC=90°，∴四邊形MPND是矩形.
∵ÐADB=ÐCDB，PM^AD，PN^CD，∴PM="PN." ∴四邊形MPND是正方形.