Question

【題目】如圖，平行四邊形ABCD中，AB⊥AC，AB=1，BC= ．對角線AC，BD相交于點O，將直線AC繞點O順時針旋轉，分別交BC，AD于點E，F．

（1）證明：當旋轉角為90°時，四邊形ABEF是平行四邊形；
（2）試說明在旋轉過程中，線段AF與EC總保持相等；
（3）在旋轉過程中，四邊形BEDF可能是菱形嗎？如果不能，請說明理由；如果能，說明理由并求出此時AC繞點O順時針旋轉的度數．

Answer 1

【答案】
（1）證明：當∠AOF=90°時，

∵∠BAO=∠AOF=90°，

∴AB∥EF，

又∵AF∥BE，

∴四邊形ABEF為平行四邊形

（2）證明：∵四邊形ABCD為平行四邊形，

在△AOF和△COE中

．

∴△AOF≌△COE（ASA）．

∴AF=EC

（3）解：四邊形BEDF可以是菱形．

理由：如圖，連接BF，DE

由（2）知△AOF≌△COE，得OE=OF，

∴EF與BD互相平分．

∴當EF⊥BD時，四邊形BEDF為菱形．

在Rt△ABC中，AC= = =2，

∴OA=1=AB，

又∵AB⊥AC，

∴∠AOB=45°，

∴∠AOF=45°，

∴AC繞點O順時針旋轉45°時，四邊形BEDF為菱形．

【解析】（1）當旋轉角為90°時，∠AOF=90°，由AB⊥AC，可得AB∥EF，即可證明四邊形ABEF為平行四邊形；（2）證明△AOF≌△COE即可；（3）EF⊥BD時，四邊形BEDF為菱形，可根據勾股定理求得AC=2，∴OA=1=AB，又AB⊥AC，∴∠AOB=45°．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用平行四邊形的判定與性質和菱形的判定方法的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握若一直線過平行四邊形兩對角線的交點，則這條直線被一組對邊截下的線段以對角線的交點為中點，并且這兩條直線二等分此平行四邊形的面積；任意一個四邊形，四邊相等成菱形；四邊形的對角線，垂直互分是菱形．已知平行四邊形，鄰邊相等叫菱形；兩對角線若垂直，順理成章為菱形．