Question

【題目】已知拋物線與x軸交于點A、B兩點（A點在B點左側），與y軸交于點C（0，-3），對稱軸是直線x=1，直線BC與拋物線的對稱軸交于點D．

（1）求出拋物線的函數表達式；

（2）設點E時拋物線上一點，且S△ABE=S△ABC，求tan∠ECO的值；

（3）點P在拋物線上，點Q在拋物線對稱軸上，若以B、C、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形，求點P坐標。

Answer 1

【答案】（1）y=；（2） ；（3）（4,5）；（-2,5）（2,-3）；

【解析】

（1）利用拋物線的對稱軸方程可計算出b=-2，再把C（0，-3）代入拋物線解析式可得到c=-3，所以拋物線的函數表達式為y=x2-2x-3；
（2）先求得S△ABC=6，然后求得S△ABE=S△ABC=10，進而求得E的縱坐標，代入拋物線的解析式求得E的坐標，過點E作EF⊥y軸于點F，然后在Rt△EOF中，利用正切的定義求解即可；
（3）此題應分兩種情況討論：
①BC為平行四邊形的邊；那么將點Q向左或向右平移BC長，即可得到點P的橫坐標，再代入拋物線的解析式中求解即可；
②BC為平行四邊形的對角線；則P的橫坐標為2，再代入拋物線的解析式中求解即可．

解：（1）∵拋物線交y軸于點C，
∴c=-3
又∵對稱軸是x=1，
∴=1，解得b=-2，
∴拋物線表達式為：y=x2-2x-3；
（2）∵拋物線與x軸交于A、B兩點
∴A（-1，0）B（3，0），C（0，-3），
∴AB=4，OC=3，
∴S△ABC=ABOC=6，
設點E（x，y）
∵S△ABE=S△ABC，
∴S△ABE=10，
∴S△ABE=AB|yE|=10，
即：|y|=5，
∵點E在拋物線上
∴x2-2x-3=5或x2-2x-3=-5，
解得：x=4或x=-2，
∴點E（4，5）或E（-2，5），
過點E作EF⊥y軸于點F，如圖1，

∴EF=4或2，CF=8，
在Rt△EOF中，tan∠ECO=，
∴tan∠ECO=或tan∠ECO=．
（3）由拋物線的對稱軸為x=1，設Q（1，yQ），如圖2，

則有：
①若BC為邊，
∵B（3，0），C的橫坐標與Q的橫坐標的差為1，
∴P與B的橫坐標的差為1，
∵和B的橫坐標的差為2，
∴P的橫坐標為4或-2，
則：P（4，yP）或（-2，yP），
把x=4代入拋物線的解析式中，得：y=42-2×4-3=5，
把x=-2代入拋物線的解析式中，得：y=（-202-2×（-2）-3=5，
∴P1（4，5），P2（-2，5）；
②若BC為對角線，則P（2，yP），代入拋物線的解析式中，可得：P（2，-3）．
綜上，存在符合條件的點P，坐標為（4，5）或（-2，5）或（2，-3）．