Question

如圖，四邊形ABCD是邊長為8的正方形，現有兩個動點P、Q分別從A、C兩點同時出發，其中點P以每秒2個單位的速度沿A?B方向運動，點Q以每秒1個單位的速度沿C?D方向運動，當一點到達終點時，另一點停止運動．過點P作PE⊥CD于E，交DB于點F，連接AF、QF，設運動時間為t秒．
（1）記△DFQ的面積為S，求出S關于t的函數關系式和自變量t的取值范圍；
（2）當△ADF與△BDC相似時，求tan∠QFE的值；
（3）是否存在t，使得△DFQ為等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）三角形DFQ中，底邊DQ的長可用CD、CQ得出，QD邊上的高即EF的長，可在直角三角形DEF中，根據DE的長（即AP的長）和∠CDB的正弦值求出．進而可根據三角形的面積計算公式求出S，t的函數關系式．由于P、Q兩點中當一點到達終點時，另一點停止運動，因此可根據P點的速度和AB的長來求出t的取值范圍．
（2）由于∠CDB=∠ADF，因此本題分兩種情況：①∠AFD=∠BCD，即△ADF∽△ABC，可根據對應線段成比例求出AP的長，即可得出EF，QE的長，據此可求出∠QFE的正切值．②∠DAF=∠DCB，即△DAF∽△BCD，解法同①
（3）分三種情況：
①FQ=FD，根據等腰三角形三線合一的特點可知此時QE=ED，可據此求出t的值．
②DQ=DF，DQ的長可用CD-CQ表示出，DF的長，可在直角三角形DEF中，用DE和∠CDB的余弦值求出．然后聯立這兩個含t的表達式相等即可得出t的值．
③QF=QD，可直接在直角三角形QEF中用勾股定理求出t的值．

解答：解：（1）∵ABCD是正方形，
∴∠ADB=∠BDC=∠ABD=45°
又∵PE⊥CD，
∴△EDF和△BPF都為等腰直角三角形
∴EF=DE=AP=2t，DF=2

2

t
又∵DQ=8-t
∴s=

1

2

DQ•EF=

1

2

（8-t）•2t=-t²+8t
自變量t的取值范圍是0≤t≤4．

（2）當△ADF與△BDC相似時，
∵∠ADF=∠BDC=45°，
∴

DF

CD

=

DA

DB

或

DF

DB

=

DA

CD

由

DF

CD

=

DA

DB

，
得

2 2 t

8

=

8

8 2

，t=2
這時EF=4，QE=8-3t=2
∴tan∠QFE=

QE

EF

=

1

2

由

DF

DB

=

AD

CD

，
得

2 2 t

8 2

=

8

8

，t=4．
這時，點F與B重合，點E與C重合
∴tan∠QFE=tan∠QBC=

QC

CB

=

4

8

=

1

2

．

（3）①當FQ=FD時，QE=ED，即8-3t=2t，5t=8，t=1.6；
②當DQ=DF時，即8-t=2

2

t，t=

8

2 2 +1

=

-8+16 2

7

；
③當QF=QD時，QE²+EF²=QD²，即（8-3t）²+（2t）²=（8-t）²，t=

8

3

．
綜上所述，存在t的值，分別為t=1.6或t=

-8+16 2

7

或

8

3

時，△DFQ為等腰三角形．

點評：該題綜合性較強，它將二次函數和正方形、解直角三角形、相似三角形的判定、等腰三角形的構成情況等貫穿在一起，考查綜合分析問題能力，要注意（2）（3）兩小題都要分類討論，不要漏解．