Question

【題目】二次函數y＝﹣x2+bx+c的圖象與直線y＝﹣x+1相交于A、B兩點(如圖)，A點在y軸上，過點B作BC⊥x軸，垂足為C(﹣3，0).

(1)填空：b＝_____，c＝_____.

(2)點N是二次函數圖象上一點(點N在AB上方)，過N作NP⊥x軸，垂足為點P，交AB于點M，求MN的最大值；

(3)在(2)的條件下，點N在何位置時，BM與NC相互垂直平分？并求出所有滿足條件的N點的坐標.

Answer 1

【答案】(1)，1；(2)MN的最大值

【解析】

(1)由一次函數解析式求得點A、B的坐標，然后將其代入二次函數解析式，即利用待定系數法確定函數解析式；(2)設M的橫坐標是x，則根據M和N所在函數的解析式，即可利用x表示出M、N的坐標，利用x表示出MN的長，利用二次函數的性質求解；(3)BM與NC互相垂直平分，即四邊形BCMN是菱形，則BC＝MC，據此即可列方程，求得x的值，從而得到N的坐標；

解：

(1)由直線y＝﹣x+1得到：A(0，1)，

把x＝﹣3代入y＝﹣x+1得到：y＝﹣×(﹣3)+1＝.

故B(﹣3，).

將A、B的坐標分別代入y＝﹣x2+bx+c，得，

解得b＝，c＝1；

(2)設N(m，﹣m2m+1) ，

則，M，P點的坐標分別是(m，﹣m+1)，(m，0)，

∴MN＝(﹣m2m+1)﹣(﹣m2+1) ，

＝﹣m2﹣m

＝﹣(m+)2+，

∴當m＝﹣時，MN的最大值為；

(3)連接MN，BN，由BM與NC互相垂直平分，

∴四邊形BCMN是菱形

由BC∥MN，

∴MN＝BC，且BC＝MC，

而BC＝﹣×(﹣3)+1＝，

即：﹣m2﹣m＝，

且(﹣m+1)2+(m+3) 2＝，

解得：m＝﹣1；

故當N(﹣1，4)時，BM與NC互相垂直平分.