Question

【題目】（10分）在正方形ABCD中，對角線AC，BD交于點O，點P在線段BC上（不含點B），∠BPE=∠ACB，PE交BO于點E，過點B作BF⊥PE，垂足為F，交AC于點G．

（1）當點P與點C重合時（如圖1）．求證：△BOG≌△POE；

（2）結合圖2，通過觀察、測量、猜想：=______，并證明你的猜想；

（3）把正方形ABCD改為菱形，其他條件不變（如圖3），若AC=8，BD=6，直接寫出的值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）.

【解析】試題分析：（1）根據正方形的性質證得OB="OP" ， ∠BOC=∠BOG=90°，利用互余的性質證得∠GBO=∠EPO ，然后根據AAS可證明△BOG≌△POE；（2）過P作PM//AC交BG于M，交BO于N，根據條件證明△BMN≌△PEN，得出BM=PE，然后根據條件證明△BPF≌△MPF，得出BF="MF" ，然后可求；（3）類比（2）的解題方法可得出結論.

試題解析：解：（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，P與C重合，

∴OB="OP" ， ∠BOC=∠BOG=90°.

∵PF⊥BG ，∠PFB=90°，

∴∠GBO=90°-∠BGO，∠EPO=90°-∠BGO.

∴∠GBO=∠EPO . .3分

∴△BOG≌△POE（AAS）. .4分

（2）. ..5分

證明如下：

如圖，過P作PM//AC交BG于M，交BO于N，

∴∠PNE=∠BOC=90°，∠BPN=∠OCB.

∵∠OBC=∠OCB =45°，∴ ∠NBP=∠NPB，∴NB=NP.

∵∠MBN=90°-∠BMN，∠NPE=90°-∠BMN，∴∠MBN=∠NPE.

∴△BMN≌△PEN（ASA），∴BM=PE.

∵∠BPE=∠ACB，∠BPN=∠ACB，∴∠BPF=∠MPF.

∵PF⊥BM，∴∠BFP=∠MFP=90°.

又∵PF=PF， ∴△BPF≌△MPF（ASA）.

∴BF="MF" ，即BF=BM.

∴BF=PE， 即.. ..8分

（3）.. ..10分 （說明：用其它方法得到結果請相應給分）