Question

【題目】某種電纜在空中架設時，兩端掛起的電纜下垂都近似成拋物線的形狀，現按操作要求，電纜最低點離水平地面不得小于6米．

(1)如圖1，若水平距離間隔80米建造一個電纜塔柱，求此電纜塔柱用于固定電纜的位置離地面至少應有多少米的高度？

(2)如圖2，若在一個坡度為1：5的斜坡上，按水平距離間隔50米架設兩固定電纜的位置離地面高度為20米的塔柱．

①求這種情況下在豎直方向上，下垂的電纜與斜坡的最近距離為多少米？

②這種情況下，直接寫出下垂的電纜與地面的最近距離為多少米？

Answer 1

【答案】(1) 22米；(2)①13.48米；②17.75米．

【解析】

(1)因為水平距離間隔80米，說明最低點的橫坐標為40，代入y=，求出高度，加上6即可；

（2）以點D為原點，DC方向為x軸正方向建立坐標系，設拋物線的解析式為y=x2+bx+c，把A（0，20），B(50，30)代入，可求出拋物線的解析式。根據D(0，0)、E(50，10)求出直線DE的解析式，設一條與x軸垂直的直線x=m與拋物線交于M，與斜坡交于G，求出表示MG距離的解析式的最小值，再作MH⊥DE與H，根據△MGH∽△DEC以及坡度1：5，即可求出下垂的電纜與斜坡的最近距離MH的長，根據拋物線解析式的最值即可求出下垂電纜與地面的最近距離.

(1)y=×402=16，

16+6=22米；

固定電纜的位置離地面至少應有22米的高度．

(2)如圖，①以D為坐標原點，DC方向為x軸正方向建立直角坐標系．

設此時拋物線解析式為y=x2+bx+c，

易知：A（0，20），B（50，30），代入解析式可求得b=-，c＝20．

∴y=x2﹣x+20，

易求得斜坡所在直線的解析式為：y=x，

設一條與x軸垂直的直線x=m與拋物線交于M，與斜坡交于G．

則：MG=m2﹣m+20﹣m＝(m﹣25)2+13.75，

∴當m=25時，MG的最小值為13.75．作MH⊥DE與H．

MH=13.75÷×5=13.48（米），

即在豎直方向上，下垂的電纜與斜坡的最近距離為13.48米，

②∵y＝x2﹣x+20＝(x-15)2+17.75，

∴下垂的電纜與地面的最近距離為17.75米．

故答案為：(1) 22米；(2)①13.48米；②17.75米．