Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx﹣2經過點A（1，0）和點B（4，0），與y軸交于點C．
附：閱讀材料
法國弗朗索瓦韋達最早發現一元二次方程中根與系數的關系為：兩根之和等于一次項系數與二次項系數之比的相反數，兩根之積等于常數項羽二次項系數之比，人們稱之為韋達定理．
即：設一元二次方程ax2+bx+c=0的兩根為x1、x2 ， 則：x1+x2=﹣ ，x1x2= 能靈活運用韋達定理，有時可以使解題更為簡單．

（1）求拋物線的解析式；
（2）以點A為圓心，作于直線BC相切的⊙A，求⊙A的面積；
（3）將直線BC向下平移n個單位后與拋物線交于點M、N，且線段MN=2CB，求直線MN的解析式及平移距離．

Answer 1

【答案】
（1）

解：設拋物線解析式為y=a（x﹣1）（x﹣4），

即y=ax2﹣5ax+4a，

∴4a=﹣2，解得a=﹣ ，

∴拋物線解析式為y=﹣ x2+ x﹣2；

（2）

解：作AD⊥BC于D，如圖，當x=0時，y=﹣ x2+ x﹣2=﹣2，則C（0，﹣2），

BC= =2 ；

∵∠ABD=∠CBO，

∴Rt△BAD∽Rt△BCO，

∴ = ，即 = ，

∴AD= ，

∵直線BC相切的⊙A，

∴AD為⊙A的半徑，

∴⊙A的面積=π（ ）2= π；

（3）

解：設直線BC的解析式為y=kx+m，

把B（4，0），C（0，﹣2）代入得 ，解得 ，

∴直線BC的解析式為y= x﹣2，

設直線MN的解析式為y= x+t，M（x1，y1），N（x2，y2），

則x1、x2為方程﹣ x2+ x﹣2= x+2t的兩根，

方程整理為x2﹣4x+2t+4=0，

∴x1+x2=4，x1x2=2t+4，

∵y1﹣y2= x1+t﹣（ x2+t）= （x1﹣x2），

∴MN= = = = = ，

∵MN=2CB，

∴ =4 ，解得t=﹣8，

∴直線MN的解析式為y= x﹣8，

∴將直線BC向下平移6個單位得到直線MN，即平移的距離為6．

【解析】（1）設交點式y=a（x﹣1）（x﹣4），即y=ax2﹣5ax+4a，然后利用4a=﹣2求出a即可得到拋物線解析式；（2）作AD⊥BC于D，如圖，先確定C（0，﹣2），計算出BC=2 ，再證明Rt△BAD∽Rt△BCO，利用相似比可計算出AD= ，然后利用切線的性質得到圓的半徑為AD，再利用圓的面積公式求解；（3）先利用待定系數法確定直線BC的解析式為y= x﹣2，則可設直線MN的解析式為y= x+t，M（x1 ， y1），N（x2 ， y2），利用兩函數的交點問題得到x1、x2為方程﹣ x2+ x﹣2= x+2t的兩根，利用根與系數的關系得x1+x2=4，x1x2=2t+4，則y1﹣y2= （x1﹣x2），接著利用兩點間的距離公式和完全平方公式得到MN= = ，所以 =4 ，解方程得到t的值，從而得到直線MN的解析式，然后利用直線平移的規律確定平移的距離．
【考點精析】本題主要考查了根與系數的關系和確定一次函數的表達式的相關知識點，需要掌握一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系數a、b、c而定；兩根之和等于方程的一次項系數除以二次項系數所得的商的相反數；兩根之積等于常數項除以二次項系數所得的商；確定一個一次函數，需要確定一次函數定義式y=kx+b（k不等于0）中的常數k和b．解這類問題的一般方法是待定系數法才能正確解答此題．